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1、第四章一元函数积分学导学第四章一元函数积分学导学一、学习要求1、理解原函数与不定积分概念弄清两者之间的关系。会求当曲线的切线斜率已知时满足一定条件的曲线方程。知道不定积分与导数微分之间的关系。了解定积分的定义设f(x)在[a,b]上连续存在Fx使得F?x=f(x)则2、熟记积分基本公式熟练掌握不定积分的直接积分法。了解不定积分和定积分的性质尤其是3、熟练掌握第一换元积分法凑微分法注意不定积分换元要还原回原变量的函数定积分换元一定要换上、下限直接计算其值。4、熟练掌握分部积分法。分部积分公式为
2、会求被积函数是以下类型的不定积分和定积分1幂函数与指数函数相乘。2幂函数与对数函数相乘。3幂函数与正余弦函数相乘。5、知道无穷限积分的收敛性会求无穷限积分。6、知道变上限定积分概念知道是f(x)的原函数即7、记住奇偶函数在对称区间上的定积分性质即1若f(x)是奇函数则有)())((xfdxxfdxd)())((xfdxxfdxdbaabdxxfdxxf)()(bccabadxxfdxxfdxxf)()()(vduuvudvdxvuuvdxuv或''
3、babababababavduuvudvdxvuuvdxuv
4、
5、''或babaaFbFxFdxxf)()()()(
6、)()()(xfdttfxxa是aadxxf0)(2若f(x)是偶函数则有本章重点不定积分、原函数概念积分的计算二、学习方法看例子、尝试做、不懂就问三、学习内容一、原函数概念定义一设f(x)是定义在区间D上的函数若存在函数F(x)对任何x∈D,都有F(x)?=f(x)(或df(x)=f(x)dx)则称F(x)为f(x)在区间D上的原函数(简称为f(x)的原函数)如:已知函数f
7、(x)=sinx函数F1(x)=-cosx和F2(x)=-cosx+2都是f(x)=sinx的原函数。∵(C?)=0,∴F(x)=-cosx+C都是f(x)=sinx的原函数注一个函数的原函数若存在则有无数个。定理1若F(x)是f(x)在某区间上的原函数则F(x)+C(C为任意常数)包含了f(x)的全体原函数。如在任一点x处切线斜率为2x的曲线方程是y=x2+c2、不定积分的定义定义2对于某区间D上的函数f(x)若存在原函数则称f(x)为可积函数并将f(x)的全体原函数记为∫f(x)dx称它是函数f(x)的不定积
8、分,其中f(x)是被积函数,x是积分变量,∫是积分符号。若F(x)是f(x)的一个原函数则f(x)的不定积分为∫f(x)dx=F(x)+C(C称为积分常数)注:(1)积分号∫表示对函数f(x)实行求原函数的运算,即要找出导函数等于已知函数f(x)的(原)函数F(x)+C(2)x是积分变量,它与用什么字母表示无关,所以式中将x换成u仍成立,即∫f(u)du=F(u)+C(C为积分常数)(3)“求一个已知函数f(x)的全体原函数”可表示为:∫f(x)dx=F(x)+C(4)求一个已知函数f(x)的全体原函数的方法为:①先求一个原函数
9、F(x)即F?(x)=f(x)②再由式即可求出全体原函数.aaaadxxfdxxfdxxf00)(2)(2)(例1、已知曲线y=F(x)在任一点x处的切线斜率为2x且曲线过(1,2)点求此曲线方程解由导数的几何意义知k=F?(x)=2x∵(x2)?=2x∴F(x)=x2是2x的一个原函数。∴y=∫2xdx=x2+c又曲线过(1,2)点,把x=1,x=2代入上式得2=12+C即C=1所以,所求曲线方程为:y=x2+1例2经过调查发现,某产品的边际成本可由下列函数给出2q+3某中,q是产量数,已知生产的固定成本
10、为2,求生产成本函数。解设所求生产成本函数为C(q)由题知C?(q)=2q+3∵(q2+3q)?=2q+3∴F(q)=q2+3q是2q+3的一个原函数∴C(q)=∫(2q+3)dq=q2+3q+c0(c0是积分常数)由已知生产的固定成本为2,即生产是q=0时,成本是2,代入上式,得C(0)=02+3·0+C0=3得C0=2所以,生产成本函数为:C(q)=q2+3q+2(二)、积分基本公式1、不定积分与导数(微分)之间的关系2、导数基本公式积分基本公式注上述积分公式中x可以换成u(三)、基本积分法1、不定积分的性质性质1两
11、个函数之和(差)的不定积分等于它们的不定积分之和(差)即性质2在求不定积分时非0常数因子可以提到积分号外面。即2、直接积分法得用不定积分的运算性质和积分基本公式直接求出不定积分的方法。dxxfdxxfdxfdxxf)()()()(
