2017-2018学年高中数学人教b版选修2-3教学案2.2.3 独立重复试验与二项分布含解析

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1、2．2.3　独立重复试验与二项分布独立重复试验要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验．试想每次试验的前提是什么？提示：条件相同．1．在相同条件下重复地做n次试验，各次实验的结果相互独立，则称它们为n次独立重复试验．2．一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n).二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8.用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次

2、这件事．问题1：试用Ai表示B1.提示：B1＝(A1∩2∩3)∪(1∩A2∩3)∪(1∩2∩A3)．问题2：试求P(B1)．提示：因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A1∩2∩3，1∩A2∩3，1∩2∩A3两两互斥，故P(B1)＝P(A1∩2∩3)＋P(1∩A2∩3)＋P(1∩2∩A3)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22.问题3：用Bk表示投中k次这件事，试求P(B2)和P(B3)．提示：P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83.问题4：由以上结果你能得出什么

3、结论？提示：P(Bk)＝C0.8k0.23－k，k＝0,1,2,3.若将事件A发生的次数记为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中k＝0,1,2，…，n.于是得到X的分布列9X01…k…nPCp0qnCp1qn－1…Cpkqn－k…Cpnq0由于表中的第二行恰好是二项式展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．1．独

4、立重复试验满足的条件：(1)每次试验是在相同的条件下进行的；(2)各次试验的结果互不影响，即每次试验是相互独立的；(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2．二项分布中各个参数的意义：n表示试验的总次数；k表示在n次独立重复试验中成功的次数；p表示试验成功的概率；1－p表示试验不成功的概率．3．二项分布的特点：(1)对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；(2)重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变．独立重复

5、试验的概率[例1]　某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．[思路点拨]　由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(或准确，或不准确)，符合独立重复试验模型．[精解详析]　(1)记“预报1次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝C0.82×0.23＝0.0512≈0.05.因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.9(

6、2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.00672≈0.01.所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.(3)由题意知第1,2,4,5次预报中恰有1次准确．所以概率P＝C0.8×0.23×0.8＝0.02048≈0.02.即恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.[一点通]　1．运用独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两

7、种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．2．解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．1．打靶时，甲每打10发可中靶8次，则他打100发子弹有4发中靶的概率为(　　)A．C0.84×0.296　　　　　　B．0.84C．0.84×0.296D．0.24×0.296解析：设X为中靶的次数，则X～B(100,0.8)，∴P(X＝4)＝C0.84×0.296.答案：A2．在4次独立重复试验中，事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出

8、现的概率为(　　)A.B.C.D.解析：由题意知，Cp0(1－p)4＝1－，p＝.答案：A3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为9，求：(1)甲恰好击中目标2次的概率；(2)乙至少击中目标2次的概率；(3)乙恰好比甲多击中目