第五章_刚体力学_习题解答

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1、5.1、一长为的棒，靠在半径为的半圆形柱面上，如图所示。今点以恒定速度沿水平线运动。试求：(i)点的速度；(ii)画出棒的瞬时转动中心的位置。解：如图，建立动直角系，取点为原点。，关键是求法1(基点法)：取点为基点，即，，化成标量为在直角三角形中，所以即取点为基点，那么点的速度为：法2(瞬心法)：如图，因棒上点靠在半圆上，所以点的速度沿切线方向，故延长，使其和垂直于点速度线交于点，那么点为瞬心。在直角三角形中，在直角三角形中，，即取点为基点，那么点的速度为：5.2、一轮的半径为，竖直放置于水平面上作无滑动地滚动，轮心以恒定速度前进。求轮缘上任一点(该点处的

2、轮辐与水平线成角)的速度和加速度。解：任取轮缘上一点，设其速度为，加速度为如图，取轮心为原点，建立动系，其中轮心的速度方向为轴正向，平面位于轮上。那么轮子的角速度为取点为基点，那么因轮无滑动地滚动，所以点为瞬心。即，化简有，那么有：5.3、半径为的圆柱夹在两块相互平行的平板和之间，两板分别以速度和匀速反向运动，如图示。若圆柱和两板间无相对滑动，求：(i)圆柱瞬心的位置(ii)位于圆柱上与板的接触点的加速度。解：(i)如图，圆柱瞬心的位置为点，不妨设在图示的直角坐标系中，，，，，因为，所以有，，联立解得：或者取点为基点，那么：求得，因，故于是求得瞬心的位置位

3、于距离点的直径上。(ii)瞬心到圆柱轴心的距离为圆柱轴心的速度为点相对点的速度为：点相对点做圆周运动，故5.4、高为、顶角为的圆锥，在一平面上无滑动地滚动。已知圆锥轴线以恒定角速度绕过顶点的铅直轴转动。求：(i)圆锥的角速度(ii)锥体底面上最高点的速度(iii)圆锥的角加速度解：取圆锥的顶点为原点，建立动系取圆锥和平面交线为轴，圆锥的对称面位于平面因圆锥轴线以恒定角速度绕过顶点的铅直轴转动，若设圆锥绕自身轴线的角速度为那么圆锥绕顶点的角速度为又母线与平面接触，为圆锥的瞬时转动轴，故平行于(i)在角速度合成的矢量三角形中，圆锥的角速率，即(ii)在动系中，

4、锥体底面上最高点的位矢可以表示为：由图中的几何关系可知：所以那么最高点的速度为：(iii)因圆锥的角速度为，所以圆锥的角加速度为：5.5、在一半径为的球体上置一半径为的较小的球，它们的连心线与竖直轴间保持角，如图示。若绕竖直轴以恒定的角速度转动，小球在大球上无滑动地滚动。分别求出小球最高点和最低点的速度。解：建立如图所示的动直角坐标系使位于平面内。则有：，，在大球和小球的角速度矢量直角三角形中，有所以5.6、一边长为、质量为的匀质立方体，分别求出该立方体对过顶点的棱边、面对角线和体对角线的转动惯量、和解：如图，要求图示棱边的转动惯量，先求立文体过质心点，且

5、平行于棱的轴的转动惯量在图示的直角坐标系中，轴皆为惯量主轴故由平行轴定理：要求图示面对角线的转动惯量，先求立文体过质心点，且平行于面对角线的轴的转动惯量，此轴与坐标轴的方向余弦分别为，坐标轴为惯量主轴，所以有：由平行轴定理有：体对角线与坐标轴的方向余弦分别为，坐标轴为惯量主轴，那么体对角线的转动惯量为：5.7、一匀质等边三角形的薄板，边长为、质量为。试在图示坐标系下，求出薄板对质心的惯量矩阵，并由此导出对顶点的惯量矩阵。图中坐标系和坐标系的坐标轴分别相互平行，和都在薄板平面内。解：由图中坐标系的取法可知，轴是三角板的对称轴，轴是是三角板的对称面的法线，故都

6、是惯量主轴。三角板的密度为：先求三角板对轴的转动惯量。因三角板关于轴对称，所以三角板对轴的转动惯量是轴一侧直角板的2倍，如图，取距离点为，厚为的线性微元，由图中几何关系知，线性微元的高为，线性微元对过质心且垂直于线性微元的轴的转动惯量为，由平行轴定理知线性微元对轴的转动惯量：再求三角板对轴的转动惯量如图，取距离点为，厚为的线性微元，由图中几何关系知，线性微元的长为，线性微元对过质心且垂直于线性微元的轴的转动惯量为故线性微元对轴的转动惯量：最后求轴的转动惯量：如图，对于线元过中心且平行于轴的转动惯量为由平行轴定理知线元对轴的转动惯量为：所以三角板对板对质心的

7、惯量矩阵由平行轴定理易知：因三角板中，所以因三角板的两腰在坐标系中方程为：和即和所以5.8、质量为，长为的细长杆，绕通过杆端点的铅直轴以角速度转动。杆与转轴间的夹角保持恒定。求杆对端点的角动量。解：选取端点为原点，建立如图所示的直角坐标系，并取杆方向为轴那么，因杆上的质点在轴上，所以，，故杆对点的惯量矩阵为：在图示的直角坐标系中，于是杆对点的角动量为：即5.9、一半径为，质量为的圆盘，在水平面上作纯滚动，盘面法线与铅直轴间保持恒定角度，盘心则以恒定速率作半径为的圆周运动。求圆盘的动能。解：如图所示，过圆盘的质心作法线，与铅直轴相交于点，建立动直角坐标系，轴

8、沿方向。连接，以及连接，这样就构成了一个陀螺在平面滚动。且为陀螺的