2018版高中数学人教版a版选修1-1学案：2.1.1 椭圆及其标准方程

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1、2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案2.1.1　椭圆及其标准方程[学习目标]　1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.知识点一　椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.知识点二　椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a、b、c的关系c2＝a2－b2c

4、2＝a2－b2思考　(1)椭圆定义中，将“大于

5、F1F2

6、”改为“等于

7、F1F2

8、”或“小于

9、F1F2

10、”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案　(1)当距离之和等于

11、F1F2

12、时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于

13、F1F2

14、时，动点的轨迹不存在.(2)a，b的值及焦点所在的位置.72017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案题型一　用待定系数法求椭圆的标准方程例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)

15、和(1,0).解　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).因为2a＝10，所以a＝5.又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以解得故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.反思与感悟　求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即先要判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这

16、一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.跟踪训练1　求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程.解　方法一　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，72017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案依题意有解得此时不符合a>b>0，所以方程组无解.故所求椭圆的标准方

17、程为＋＝1.方法二　设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.题型二　椭圆定义的应用例2　已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足

18、PF1

19、＋

20、PF2

21、＝2

22、F1F2

23、.(1)求点P的轨迹方程；(2)若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积.解　(1)依题意知

24、F1F2

25、＝2，

26、PF1

27、＋

28、PF2

29、＝2

30、F1F2

31、＝4>2＝

32、F1F2

33、，∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝，故所求点P的轨迹方程为＋＝1.(2)设m＝

34、PF1

35、，n＝

36、PF2

37、，则m＋n＝2a＝

38、4.在△PF1F2中，由余弦定理，得

39、F1F2

40、2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos60°)，解得mn＝4.＝mnsin∠F1PF2＝×4sin60°＝.反思与感悟　在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中，经常把

41、PF1

42、·

43、PF2

44、看作一个整体来处理.跟踪训练2　如图所示，已知过椭圆＋＝1的右焦点F2

45、的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点.求△AF1B的周长.72017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案解　如题图所示，由题意知，点A，B在椭圆＋＝1上，所以a＝5，故有

46、AF1

47、＋

48、AF2

49、＝2a＝10，

50、BF1

51、＋

52、BF2

53、＝2a＝10，

54、AF2

55、＋

56、BF2

57、＝

58、AB

59、，所以△AF1B的周长为

60、AF1

61、＋

62、BF1

63、＋

64、AB

65、＝

66、AF1

67、＋

68、BF1

69、＋

70、AF2

71、＋

72、BF2

73、＝(

74、AF1

75、＋

76、AF2