自由空间的电磁波

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1、场论导引期末论文论文题目：自由空间电磁波波动方程的数学求解年级专业：12级应用物理学小组成员：B31214012葛畅B31214016周胜男B31214008付永旭时间日期：2014.12自由空间电磁波波动方程的数学求解麦克斯韦方程组是电动力学核心，自由空间(ρ=0,J=0)中麦克斯韦方程组的形式为：∇∙D=0∇∙B=0∇×E=-∂B∂t∇×H=∂D∂t(1)进一步推导我们可以得到关于电场和磁场的两个方程：∇2E-1v2∂2E∂t2=0∇2B-1v2∂2B∂t2=0v=1με(2)这两个方程具有波动方程的形式，这直接说明了变化的电磁场一波的形态存在于自

2、由空间中。下面我们将用数学物理方法的知识来求解这两个波动方程，并对一些特解加以说明。1.波动方程分离变数由于电场和磁场方程形式相同，所以我们只需求解关于电场的方程即可。把电场强度分解为时间和空间两部分：Er,t=Erft（3）代入电场的波动方程得：1Er∇2Er=1v2ftd2dt2ft（4）等式两边量纲不同，要是等式成立只能是两边等于同一常数，取这个常数为-k2，于是我们分离出电场时间和空间的方程：∇2Er+k2Er=0(5)d2dt2ft+k2v2ft=0(6)(5)式为电场的亥姆霍兹方程，数学上类似于定态薛定谔方程。（6）式是关于时间的二阶常系数

3、线性微分方程，其通解为：ft=Aeikvt+Be-ikvt（7）令ω=kv，（7）式可写为：ft=Aeiωt+Be-iωt(8)亥姆霍兹方程数学上是一个本征值问题，其解是一系列本征函数Ekr,对应本征值为-k2。波动方程（2）式的通解形式上可写为：Er,t=kakEKrAeiωt+Be-iωt（9）下面我们将具体求解亥姆霍兹方程∇2Er+k2Er=0本征函数。1.亥姆霍兹方程直角坐标系求解将Er分解为三个直角坐标分量之和：Er=Exri+Eyrj+Ezrk（10）代入亥姆霍兹方程可得三个分量的标量方程：∇2Exr+k2Exr=0∇2Eyr+k2Eyr=

4、0∇2Ezr+k2Ezr=0（11）三个方程形式相同，只需求解一个即可，用u代替上面的标量分量：∇2ur+k2ur=0（12）将u分离变数ur=XxYyZz（13）代入（13）式的：d2dx2X+kx2X=0d2dy2Y+ky2Y=0d2dZ2Z+kz2Z=0(14)其中k2=kx2+ky2+kz2（15）其通解分别为：Xx=A1eikxx+B1e-ikxxYy=A2eikyy+B2e-ikyyZz=A3eikzz+B3e-ikzz（16）于是标量亥姆霍兹方程的通解为：ur=A1eikxx+B1e-ikxxA2eikyy+B2e-ikyyA3eikzz

5、+B3e-ikzz（17）这样Er的通解为：Er=A1eikxx+B1e-ikxxA2eikyy+B2e-ikyyA3eikzz+B3e-ikzzi+C1eikxx+D1e-ikxxC2eikyy+D2e-ikyyC3eikzz+D3e-ikzzj+E1eikxx+F1e-ikxxE2eikyy+F2e-ikyyE3eikzz+F3e-ikzz（18）波动方程总通解为：Er,t=kakEKreiωt+e-iωt（19）若只取电场的一定态Ek，且取e-ikxx、e-ikyy、e-ikzz、eiωt项的系数为零，可得一电场的特解：Er,t=Aeikxx+k

6、yy+kzzi+Beikxx+kyy+kzzj+Ceikxx+kyy+kzzke-iωt=Ai+Bj+Ckeik∙r-ωt=E0eik∙r-ωt（20）上式所示的解就是我们最常见最简单的平面波，其中E0为振幅矢量，可沿空间任意方向，可有任意大小，它决定电磁波中电场的能量。k称为波矢量，其方向为平面波的传播方向，大小为电磁波的波数ωv。ω=kv为电磁波的圆频率，对于可见光它对应于不同颜色的色光。平面电磁波1.亥姆霍兹方程球坐标系求解球坐标系下电场强度分解为球坐标分量之和：Er=Errer+Eθreθ+Eφreφ(21)代入亥姆霍兹方程（5）式，得三个形式

7、相同分量方程：∇2Err+k2Err=0∇2Eθr+k2Eθr=0∇2Eφr+k2Eφr=0（22）以u代替标量分量并分离变数：∇2ur+k2ur=0（23）ur=RrΘθΦφ（24）（24）式代入（23）式可得：1r2∂∂rr2∂u∂r+1r2sinθ∂∂θsinθ∂u∂θ+1r2sinθ2∂2Φ∂φ+k2u=0（25）于是分离出三个方程：∂∂rr2∂R∂r+k2r2-nn+1R=0（26）1sinθ∂∂θsinθ∂Θ∂θ+-λsinθ2+nn+1Θ=0（27）∂2Φ∂φ+λΦ=0（28）方程（28）加周期边界条件可得：λ=m2，m=0、1、2……（

8、29）方程（26）的通解为：Rr=C1nJn+12kr+C1n，J-n+12kr，n为自然数（