北师大版选修2-2高中数学1.4《数学归纳法》word同步训练.doc

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1、§4数学归纳法1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是(　　)．A．1B．1＋3C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4解析　由题可知等式左端共有n＋2项。答案　C2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)．A.B.＋C.＋D.＋＋解析　∵f(n)＝1＋＋＋…＋，∵f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.答案　D3．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命

2、题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(　　)．A．当n＝4时命题不成立B．当n＝6时命题不成立C．当n＝4时命题成立D．当n＝6时命题成立解析　因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．答案　A4．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析　由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案　π5．已知数列{

3、an}满足a1＝a，an＋1＝，通过计算得a2＝，a3＝，a4＝，由此可猜测an＝________.答案　6．用数学归纳法证明：对任何正整数n有＋＋＋＋…＋＝.证明　①当n＝1时，左边＝，右边＝＝，故左边＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即＋＋＋＋…＋＝.那么当n＝k＋1时，利用归纳假设有：＋＋＋＋…＋＋＝＋＝＋＝＝＝＝.这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．由①和②知，等式对任何正整数都成立．7．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1

4、时的情况，只需展开(　　)．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析　假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3，为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．答案　A8．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是(　　)．A．2k－1项B．2k＋1项C．2k项D．以上都不对解析　观察f(n)的表达式可知，右端分母是连

5、续的正整数，f(2k)＝1＋＋…＋，而f(2k＋1)＝1＋＋＋＋＋＋…＋.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．故选C.答案　C9．若f(n)＝＋＋＋…＋，n∈N＋，则当n＝1时，f(n)＝________.解析　n＝1代入得，∴f(1)为从加到为止，∴f(1)＝＋＝.答案　10．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．答案　1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)211．用数学

6、归纳法证明：当n∈N*时，1＋22＋33＋…＋nn＜(n＋1)n.证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1＜2，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk＜(k＋1)k那么，当n＝k＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1＜(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)＜(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边＜右边，即当n＝k＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)，可知不等式对任意n∈N*都成立．12．(创新拓展)一个计算装置有一个数据入口A

7、和一个运算结果的出口B，将正整数数列{n}中的各数依次输入A口，从B口得到输出数据组成数列{an}，结果表明：①从A口输入n＝1时，从B口得到a1＝；②当n≥2时，从A口输入n，从B口得到结果an是将前一个结果an－1先乘以正整数数列{n}中的第n－1个奇数，再除以正整数数列{n}中的第n＋1个奇数，试问：(1)从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？(2)从A口输入2010时，从B口得到什么数？为什么？解　(1)a1＝＝，a2＝a1×1÷5＝＝，a3＝a2×3÷7＝＝.(2)猜想am＝(m∈N*)．①当m＝1时，由(1)知猜

8、想成立．②假设当m＝k(k≥1且k∈N*)时，ak＝成立，则当m＝k＋1时，ak＋1＝ak×(2k－1)÷(2k＋3)＝＝，∴m＝k＋1(k≥1，k∈N*)时猜想成立，由①②可知am＝(m∈N*)成立．当n＝2010时，a2010＝＝×＝.