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时间:2019-11-14
《2019年高中数学 1.4 数学归纳法基础巩固 北师大版选修2-2》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019年高中数学1.4数学归纳法基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1.若f(n)=1+++…+,则当n=1时,f(n)等于( )A.1B.C.1++D.以上都不对[答案] C[解析] ∵n=1时,2n+1=3∴f(1)=1++.2.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)[答案] D[解析] (1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.这就是说,k=n+
2、1时命题也成立.由(1)(2)可知,命题对任何k∈N*都成立.3.(xx·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(n∈N*,a≠1),在验证n=1时,左边所得的项为( )A.1B.1+a+a2C.1+aD.1+a+a2+a3[答案] B[解析] 因为当n=1时,an+1=a2,所以此时式子左边=1+a+a2.故应选B.二、填空题4.(xx·吉林长春一模,13)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时左边表达式是________;从k→k+1需增添的项是________.[答案
3、] 1+2+3;4k+5(或(2k+2)+(2k+3))[解析] 因为用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时2n+1=3,所以左边表达式是1+2+3;从k→k+1需增添的项的是4k+5或(2k+2)+(2k+3).5.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1且n∈N*)”,在验证n=1时,左边计算所得的结果是____________.[答案] 1+a+a2[解析] 就本题而言,它的左边是按a的升幂排列的,共有(n+2)项,故当n取第一个值时,共有1+2=3项,它们的和应是1+a+a2.三、解
4、答题6.(xx·大庆实验中学高二期中)数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).(1)计算a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.[证明] (1)当n=1时,a1=S1=2-a1,∴a1=1;当n=2时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=;当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=.由此猜想an=(n∈N*)(2)证明:①当n=1时,a1=1结论成立,②假设n=k(k≥1,且k∈N*)时结论成立,即ak=,当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+a
5、k-ak+1,∴2ak+1=2+ak∴ak+1==,∴当n=k+1时结论成立,于是对于一切的自然数n∈N*an=成立.一、选择题1.(xx·合肥一六八中高二期中)观察下列各式:已知a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则归纳猜测a7+b7=( )A.26B.27C.28D.29[答案] D[解析] 观察发现,1+3=4,3+4=7,4+7=11,7+11=18,11+18=29,∴a7+b7=29.2.某个命题与正整数n有关,若n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推知n=k+1时该命题也成立,现已知当n=
6、5时该命题不成立,那么可推得( )A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立[答案] C[解析] 若原命题正确,则其逆否命题正确,所以若n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立,可推得若n=k+1时命题不成立可推得n=k(k∈N*)时命题不成立,所以答案为C.3.(xx·衡水一模,6)利用数学归纳法证明不等式1+++…+7、…+-(1+++…+)=++…+,共增加了2k项.4.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是( )A.若f(1)<1成立,则f(10)<100成立B.若f(2)<4成立,则f(1)≥1成立C.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立D.若f(4)≥25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立[答案] D[解析] 对于A,因为“原命题成立,否命题不一定成立”,所以若f(1)<1成立,则f(10)<100不一定成立;对于B,因为“原8、命题成立,则逆否命题一定成立”,所以只能得出:若f(2)<4成立,则f(1)<1成立,不能得出
7、…+-(1+++…+)=++…+,共增加了2k项.4.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是( )A.若f(1)<1成立,则f(10)<100成立B.若f(2)<4成立,则f(1)≥1成立C.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立D.若f(4)≥25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立[答案] D[解析] 对于A,因为“原命题成立,否命题不一定成立”,所以若f(1)<1成立,则f(10)<100不一定成立;对于B,因为“原
8、命题成立,则逆否命题一定成立”,所以只能得出:若f(2)<4成立,则f(1)<1成立,不能得出
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