行列式的计算及应用毕业论文

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1、行列式的计算及应用毕业论文目录1.行列式的定义及性质11.1行列式的定义11.1.1排列11.1.2定义11.2行列式的相关性质12.行列式的计算方法52.1几种特殊行列式的结果52.1.1三角行列式52.1.2对角行列式52.2定义法52.3利用行列式的性质计算52.4降阶法62.5归纳法72.6递推法82.7拆项法92.8用范德蒙德行列式计算102.9化三角形法102.10加边法112.11拉普拉斯定理的运用122.12行列式计算的Matlab实验133.行列式的应用153.1行列式应用在解析几何中153.2用行列式表示的三角形面积15

2、3.3应用行列式分解因式163.4利用行列式解代数不等式173.5利用行列式来证明拉格朗日中值定理173.6行列式在实际中的应用18总结20参考文献21附录1221附录222附录323谢辞2411.行列式的定义及性质1.1行列式的定义1.1.1排列[1]在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数.1.1.2定义[1]阶行列式就相当于全部不同行、列的个元素的乘积(1-1-1)的代数和，这里是的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当是偶排列时，（1-1-1）

3、是正值，当是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为，(1-1-2)这里表示对所有级排列求和.由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为.（1-1-3）1.2行列式的相关性质记,,23则行列式叫做行列式的转置行列式.性质1行列式和它的转置行列式是相等的[2].即.证明：记中的一般项个元素的乘积是它处于的不同行和不同列，所以它也处于的不同行和不同列，在中应是所以它也是中的一项.反之,的每一项也是的一项，即和有相同的项.再由上面（1-2）和（1-3）可知这两项的符号也

4、相同，所以.性质2.证明：性质3如果行列式的某行(列)的元素都为两个数之和[2]，如，那么行列式就等于下列两个行列式的和：23可以参照性质2的证明得出结论.性质4对换行列式中任意两行的位置，行列式值相反.即若设则证明：记中的一般项中的个元素的乘积是它在中处于不同行、不同列，因而在中也处于不同行、不同的列，所以它也是的一项.反之，中的每一项也是中的一项，所以和有相同的项，且对应的项绝对值相同.现在看该项的符号：它在中的符号为由于是由交换的、两行而得到的，所以行标的级排列变为级排列，而列标的级排列并没有发生变化.因此和中每一对相应的项绝对值相等

5、，符号相反，即性质5如果行列式中任有两行元素完全相同，那么行列式为零.证明：设该行列式为，交换相同的那两行，由性质4可得,故性质6如若行列式中任有两行或者两列元素相互对应成比例，则行列式为零.证明：设阶行列式中第行的各个元素为第行的对应元素的倍，由性质2，可以把提到行列式外，然后相乘.则剩下的行列式的第行与第行两行相同，再由性质5，最后得到行列式为零.性质7把任意一行的倍数加到另一行，行列式的值不改变.23.232.行列式的计算方法2.1几种特殊行列式的结果2.1.1三角行列式（上三角行列式）.（下三角行列式）.2.1.2对角行列式.2.2

6、定义法例1用定义法证明证明：行列式的一般项可表成列标只能在中取不同的值，故三个下标中至少有一个要取中的一个数，则任意一项里至少有一个为因子，故任一项必为零，即原行列式的值为零.2.3利用行列式的性质计算例2一个阶行列式的元素都满足，那么叫做反对称行列式,证明：奇数阶的反对称行列式的值等于0.证明：由知，即23所以行列式可写为，再由行列式的性质2，得到，当为奇数时，得，因而得到.2.4降阶法例3计算级行列式.解：按第一列展开得到原式.232.5归纳法形如行列式叫做阶范德蒙（Vandermonde）行列式.下面证明，对每一个，阶范德蒙行列式就等

7、于这个数的所有可能的差的乘积.用数学归纳法证明范德蒙德行列式我们对作归纳法.（1）当时，，结果是对的.（2）设对于级的范德蒙行列式，结论是成立的，先来看级的情况.在中，第行减第行的倍，第行减第行的倍，即由下而上逐次地从每一行减它上一行的倍，得到23.最后面这个行列式是级范德蒙德行列式，再由归纳法假设，它的值就是；而所有带有的差即为上式最后等式行列式的前面.所以，结论对级范德蒙德行列式也是成立的.由数学归纳法，证明了结论.用连乘号，这个结果可以简写为.（2-5-1）2.6递推法给定一个递推关系式，再给定某一个较低阶初始行列式的值，就可递推求得

8、所给阶行列式的值，运用这种方法计算的方法就叫做递推法。一个典型的例子是范德蒙德行列式.分析：如果第一行全是1把第一行变出一排0其他位置将会变得不好掌握，所以通过把第一列变出一排0