第三章 向量空间

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1、第三章向量空间I考试大纲要求1、考试内容：向量的概念；向量的线性组合和线性表示；向量组的等价；向量组的线性相关；向量组的极大无关组和秩；矩阵的秩；向量的内积、正交矩阵及其性质、线性无关向量组的正交规范化方法.数一还要求：向量空间的概念、基和坐标、基变换、过度矩阵和坐标变换、规范正交基.2、考试要求：1、理解维向量的概念，向量的线性组合和线性表示.了解向量组的等价概念.2、理解向量组的线性相关和线性无关的定义，掌握向量组的线性相关和线性无关的有关性质及判别法.3、理解向量组的极大线性无关组和秩的概念，理解矩阵的秩的概念及其与行秩和列秩

2、的关系，掌握求矩阵的秩及向量组的极大线性无关组和秩的方法.4、理解内积和正交矩阵的概念.5、掌握施密特正交化方法.数一还要求：6、理解维向量空间，子空间，维数，基，坐标等概念.7、理解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵.8、理解规范正交的概念及性质.15II重要知识点一、向量1、向量的定义由个实数组成的有序数组称为维行向量，记作，其中称为向量的第个分量.同样也可定义维列向量.2、向量的运算（1）向量的相等：设，，若，则称它们相等，记作.（2）零向量：.（3）负向量：：设，令，叫作的负向量.（4）向量的加法运算及数乘运算：设，定义：，

3、.（5）向量的加法及数乘满足的运算规律：①交换律：；②结合律：；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.还可推出以下规律：，，及若，则或.15二、线性方程组的基本概念及表达形式非齐次线性方程组的一般形式：(I)A==，.叫作(I)的系数矩阵，叫作(I)的增广矩阵.(I)还可改写为矩阵方程的形式：和向量形式：.齐次线性方程组的一般形式：(II)(II)叫作(I)的导出组，其矩阵形式为：向量形式为：三、向量的线性相关性1、线性组合：（向量形式）.非齐次线性方程组（矩阵形式）是否有解，相当于是否可由的列向量线性表示.其中.2、线性相关与线性无关：设为一组

4、维向量，如果存在一组不全为零的数使得（向量形式）成立，则称向量组线性相关；如果上述等式仅当时成立，则称向量组线性无关.齐次线性方程组（矩阵形式）是否有非零解，相当于的列向量组是否线性相关.其中.153、基本定理：定理1向量组线性相关中至少有一个向量可由其余的个向量线性表示（逆否命题）.定理2若向量组线性无关，则向量组线性相关可由线性表示，且表示法唯一（逆否命题）.定理3若线性相关，则也线性相关（逆否）.定理4若向量组线性无关，则在相同位置随意扩充向量组各向量的分量，所得向量组仍线性无关（逆否命题）.定理5设和是两个向量组，如果①向量

5、组可以经线性表出；②.那么向量组必线性相关.定理如果向量组可以经线性表出，且向量组线性无关，那么.定理6向量组的个数大于向量组的维数，则此向量组线性相关（逆否命题）.定理7个维向量线性无关由它们所构成的矩阵对应的行列式不等于零（逆否命题）.四、向量组的秩和矩阵的秩1、极大线性无关组：设为一个维向量组，如果向量组中有个向量线性无关，且任意个向量线性相关，则称这个线性无关的向量为向量组的一个极大线性无关组.若是的线性无关部分组，它是极大线性无关组的充分必要条件是：中每一个向量都可由线性表示.2、向量组的等价性：设有向量组和，如果向量组1

6、5中每一个向量都可由向量组线性表示，则称向量组可以由向量组线性表示.如果向量组和向量组可以互相线性表示，则称向量组和向量组等价，记为.向量组等价具有性质：反身性、对称性、传递性.3、向量组的秩：向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为此向量组的秩，记作秩或.4、极大线性无关组和向量组秩的性质：（1）任何向量组和它的极大线性无关组等价，从而同一向量组的所有极大无关组之间等价.（2）等价的线性无关组所含向量的个数相等，从而等价的向量组的秩相等.（3）若向量组的秩为，则这个向量组中任意个线无关的部分组都是这个向量组的一个极大线性无关组.

7、（4）若向量组可以由向量组线性表示，则秩秩.（5）若两个向量组的秩相等，且其中一个向量组可由另外一个向量组线性表示，则这两个向量组等价.（6）可由线性表示.（7）可由唯一线性表示.（8）可由线性表示（9）若线性无关，且，则.5、矩阵的秩：设，则矩阵的行向量组的秩和列向量组的秩相等，统称为矩阵的秩，记为秩或.也可用行列式来定义：的充要条件是：矩阵中至少有一个阶子式不等于零，而所有15阶子式都等于零.初等变换不改变矩阵的秩.若两个向量个数相同的向量组和使得向量方程和同解，即齐次线性方程组和同解，则称这两个向量组有相同线性关系.当向量组和

8、有相同线性关系时，（1）它们对应的任何一个部分组有相同的线性相关性.（2）它们的极大线性无关组相对应，从而它们的秩相等.（3）它们有相同的内在线性关系表示式.定理初等行变换不改变矩阵的行秩，也不改变矩阵的列向量之间的线性关系，进而不改