离散习题(附答案) (6)

《离散习题(附答案) (6)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第6章习题解答习题6.11.通常数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算，说明理由。⑴A=í1,2ý。⑵B=íb

2、b是素数ý。⑶C=íc

3、c是偶数ý。⑷D=í2n

4、nÎNý。解：⑴因为2×2＝4ÏA，所以数的乘法运算不A上的二元运算。⑵因为2、3ÎB，2×3＝6ÏB，所以数的乘法运算不是B上的二元运算。⑶"a,bÎC，a、b是偶数，a×b也是偶数，即a×bÎC且a×b的结果是唯一的，所以数的乘法运算是C上的二元运算。(4)"a,bÎD,$n,mÎN，使a＝2n，b＝2m，a×b=2n×2m=2n+m,n+mÎN

5、，所以a×bÎD且运算结果唯一，故数的乘法运算是D上的二元运算。2.集合A=í1,2,3,4ý，*和是A上的二元运算，其中运算*定义为a*b=ab−b，运算定义为ab=max(a,b)，试写出*和的运算表。解：*和的运算表如表6.12和表6.13所示。表6.12表6.13∗12341234100001123421234222343246833334436912444443.和是代数系统，其中N7=í0,1,2,3,4,5,6ý，运算＋7是模7加法，运算×7是模7乘法。试写出＋7和×7的运

6、算表。解：＋7和×7的运算表如表6.14和表6.15所示。表6.14＋70123456001234561123456022345601334560124456012355601234660123456第6章习题解答表6.15×7012345600000000101234562024613530362514404152635053164260654321习题6.21.设代数系统，其中A=ía,b,cý，∗是A上的二元运算，分别由下列表给出。试分别讨论交换性、幂等性、单位元和逆元。表6.3表6.4表6.5表6

7、.6∗abc∗abc∗abc∗abcaabcaabcaabcaabcbbcabbacbabcbabcccabcccccabccccb解：*的交换性、幂等性、单位元和逆元如表6.16所示。表6.16交换律幂等律单位元逆元表6.3有无aa–1=a,b–1=c,c–1=b表6.4有无aa–1=a,b–1=b表6.5无有无无表6.6无无无无2.证明下列的公式⑴am∗an=am+n。⑵(am)n=amn。证明：设∗运算满足结合律，以下对于对任意的正整数n和m证明⑴和⑵两个结论。⑴对于任意的正整数m，对n用数学归纳法证明。当n

8、=1时，am∗a1=am∗a=am+1设n=k时，结论成立，即am∗ak=am+k。下证n=k+1时，结论也成立，即am∗ak+1=am+k+1。am+(k+1)=a(m+k)+1=am+k∗a=(am∗ak)∗a=am∗(ak∗a)=am∗ak+1。所以am∗an=am+n。6第6章习题解答⑵对于任意的正整数m，对n用数学归纳法证明。当n=1时，(am)1=am=am·1。设n=k时，结论成立，即(am)k=amk。下证n=k+1时，结论也成立，即(am)k+1=am(k+1)。(am)k+1=(am)k∗am=

9、amk∗am=amk+m=am(k+1)。所以，(am)n=amn。3.证明定理6.2.2注：设*是非空集合A上的二元运算，a为运算*的幂等元，对任意的正整数n，则an=a。证明：用数学归纳法证明。当n=1，2时，a1=a，a2=a*a=a设n=k时，结论成立，即ak=a，下证n=k+1时，结论也成立，即ak+1=a。ak+1=ak*a=a*a=a，所以，an=a，n为正整数。4.写出代数系统的幺元和零元，各元素的逆元。解：代数系统的运算表如表6.14所示。由表知幺元为0，无零元，0逆元

10、是0，1和6，2和5，3和4互为逆元。5.写出代数系统的幺元和零元，各元素的逆元。解：代数系统的运算表如表6.15所示，由表知幺元为1，零元为0，0无逆元，1的逆元为1，6的逆元为6，2和4，3和5互为逆元。6.设是代数系统，A是有限集，那么⑴当运算∗在A上是封闭的时，其运算表有何特征?⑵当运算∗是可交换运算时，其运算表有何特征?解：代数系统，A是有限集。⑴当运算∗在A上是封闭的时，其运算表中各元素的运算结果都是集合A中的元素。⑵当运算∗是可交换运算时，运算表关于主对

11、角线是对称的。7.设A=í1,3,5,7,9ý，∗是A上的二元运算，其定义分别为：⑴a∗b=min(a,b)⑵a∗b=a⑶a∗b=ab+a问：哪些运算满足幂等律？解：⑴满足幂等律。因为"aÎA,a∗a=min(a,a)=a。⑵满足幂等律。因为"aÎA,a∗a=a。⑶不满足幂等律。因为1∗1＝1×1＋1＝2≠18.写出的所有幂等元。解：因为0