直角三角形边角关系

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1、DSE金牌数学专题系列经典专题系列第6讲直角三角形边角关系一、导入二、知识点回顾1．锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：(1)正弦定义：∠A的正弦=；（2）余弦的定义：∠A的余弦=,（3）正切的定义：∠A的正切=这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：（1）锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900；（2）在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则，不存在上述关系2、锐角三角函数关系：(1)互为余角的三角函数关系．若∠A+∠

2、B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB.即：sin（90○－A）=cosA，cos（90○－A）=sinAtan（90○－A）=cotAcot（90○－A）=tanA(2)同角的三角函数关系．①平方关系：sin2A+cos2A=l②倒数关系：tanA×cotA=1③商数关系：3、特殊角的三角函数：00300450600sinA0cosA1tanA014.三角函数的大小比较(1)同名三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而

3、减小，随角的减小而增大。(2)异名三角函数的大小比较①tanA＞SinA，由定义，知tanA=，sinA=；因为b＜c，所以tanA＞sinA14努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团②cotA＞cosA．由定义，知cosA=，cotA=；因为a＜c，所以cotA＞cosA．③若0○＜A＜45○，则cosA＞sinA，cotA＞tanA；若45○＜A＜90○，则cosA＜sinA，cotA＜tanA5.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）6.方位角从指北方向顺时针转到目

4、标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。7.方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；②北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；③南偏本等其他方向角类似。8、坡角与坡度:坡度：坡面与水平面所成角的度数（如图④，角θ为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，为坡比）注：①坡面的铅直高度h与水平宽度的比为坡度（或坡比），用字母i表示，即i=，坡面与水平夹角

5、α叫坡角，即坡度等于坡角的正切（tanα=i）。②工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的铅直高度h与水平宽度的比为坡度（或坡比），坡度是坡角的正切，坡度越大，坡面越陡一、专题讲解【例1】计算(1)(2)．(3)，其中；解：14努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团1、设x=()-1+(sin73°)0+tan21°·tan69°，求÷的值．2、+.（sin21°13′-tan21°）0-【例2】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求C

6、D的长．【答案】解：过点B作BM⊥FD于点M．在△ACB中，∠ACB=90°,∠A=60°,AC=10,∴∠ABC=30°,BC=ACtan60°=10,∵AB∥CF，∴∠BCM=30°．∴在△EFD中，∠F=90°,∠E=45°,∴∠EDF=45°,∴．∴．综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽

7、FR14努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团（结果保留两位有效数字）.（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【答案】解：过点F作FG∥EM交CD于G.ABCDEFMNRαβ则MG＝EF＝20米.∠FGN＝∠α＝36°.∴∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝36°.∴∠FGN＝∠GFN，∴FN＝GN＝50－20＝30（米）.在Rt△FNR中，FR＝FN×sinβ＝30×sin72°＝30×0.95≈29（

8、米）.【例3】《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．5秒．（1）试求该车从A点到B的平均速