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1、2017年课标高考母题备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段457[中国高考数学母题](第142号)数列求和方法之错位相减法求数列{anbn}前n项和Sn(其中,{an}是等差数列,{bn}是等比数列)的一个成熟方法是错位相减法,由错位相减法可得Sn的公式.利用该公式,可简求Sn.[母题结构]:已知{an}是等差数列,{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列,求证:数列{anbn}的前n项和Sn=(An+B)qn-B.[母题解析]:设等差数列{an}的公差为d,由Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn…①,①式乘等比数列的公比q(q≠1)得:
2、qSn=a1b2+a2b3+a3b4+…+an-1bn+anbn+1…②,①-②进行错位相减得:(1-q)Sn=a1b1-anbn+1+[(a2-a1)b2+(a3-a2)b3+…+(an-an-1)bn]=a1b1-anbn+1+d(b2+b3+…+bn)=(a1-d)b1-anbn+1+d(b1+b2+b3+…+bn)=(a1-d)b1-anbn+1+db1=[-dn-(a1-d)+]b1qn+[(a1-d)-]b1Sn=[n+-]b1qn+[-+]b1;令A=b1,B=[-]b1得:Sn=(An+B)qn-B.1.解题模式子题类型Ⅰ:(2015年天津高考理科试题)已知数
3、列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(Ⅰ)求q的值和{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和Sn.[解析]:(Ⅰ)由a1=1,a2=2,an+2=qana3=q,a4=2q,a5=q2;又由a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列2+3q+q2=6qq=2(q=1舍去);①当n=2k-1时,由an+2=2ana2k+1=2a2k-1a2k-1=2k-1;②当n=2k时,由an+2=2ana2k+2=2a2ka2k=2k;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=n(
4、)n-1(设Sn=(An+B)()n-B,则S1=(A-B)=b1=1,S2=(2A-3B)=b1+b2=2A=-2,B=-4Sn=4-(2n+4)()n);由Sn=1+2()+3()2+…+n()n-1Sn=()+2()2+3()3+…+n()n,两式相减得:Sn=2-(n+2)()nSn=4-(2n+4)()n.[点评]:由数列{anbn}的前n项和公式:Sn=(An+B)qn-B,可简求Sn,解题模式:①由数列{anbn}的前2项,即S1=(A+B)q-B=a1b1,S2=(2A+B)q2-B=a1b1+a2b2,求A,B得Sn;②执行错位相减法的程序,写出解题过程.[
5、同类试题]:1.(2015年天津高考文科试题)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;(Ⅱ)设cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.2.(2016年四川高考试题)已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.2.求和公式子题类型Ⅱ:(2009年天津高考理科试题)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),等比数列{bn}的公比为q(
6、q>1),设Sn=a1b1+a2b2+…+anbn,Tn=a1b1-a2b2+…+(-1)n-1anbn,n∈N*.(Ⅰ)若a1=b1=1,d=2,q=3,求S3的值;(Ⅱ)若b1=1,证明:(1-q)S2n-(1+q)T2n=,n∈N*;[解析]:(Ⅰ)由a1=b1=1,d=2,q=3an=2n-1,bn=3n-1S3=55;(Ⅱ)设Sn=(An+B)qn-B,则(A+B)q-B=a1,(2A+B)q2-B=a1+(a1+d)qA=,B=-Sn=[n+-]qn458备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段2017年课标高考母题+[-+]Tn=[n+-](-q)n+[-
7、+]=[-n--](-q)n+[+](1-q)S2n-(1+q)T2n=[-2dn-(a1-d)+]q2n+[(a1-d)-]-[-2dn-(a1-d)-]q2n-[(a1-d)+]=(+)q2n-(+)=.[点评]:数列{anbn}的前n项和公式:Sn=(An+B)qn-B应用的关键是把数列{anbn}的通项整理成:anbn=(kn+t)qn的形式,并会由数列{anbn}的前n项和公式,可以写出:当等比数列{bn}的公比q变为mq时的前n项和.[同类试题]:3.(2009年天津高考文科试题)已知等差数
