三棱锥的一个体积公式及其两条推论

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1、三棱锥的一个体积公式及其两条推论(李明中国医科大学数学教研室110001)摘要:本文利用空间向量这个强有力的数学工具推导出了三棱锥的一个体积公式（其中为三条侧楞的长度，为它们的相互夹角，即三个侧面顶角)，并由该公式推演出了两条推论.关键词:三棱锥体积公式等夹角三棱锥最大体积0引言我们知道,如果的两条边,其夹角(显然),则的面积(如图1).将此结论类比到空间(如图2),我们便有如下问题:如果三棱锥的三条侧棱,其夹角(显然),则三棱锥的体积如何用这些已知的棱长及已知的夹角来表示呢?即体积的公式是什么呢?1推导体积的公式首先,在图2的基础上,以三棱锥的顶点为坐标原点,以为轴正向,以垂直于所在的平

2、面的方向为轴建立右手空间直角坐标系(如图3).xBbAOacOC图3yz3在图3中,(其中为未知数),将这些向量带入如下向量方程组:我们便得到如下关于的代数方程组:由此方程组我们可以求得:于是三棱锥的体积为1两条推论由体积公式(1),我们可以推演出如下两条推论.其中推论2的证明略微复杂,下文将详细给出证明步骤,而推论1的证明显而易见,不予赘述.推论1(等夹角三棱锥体积公式)如图4,在三棱锥中,如果三条侧棱,其夹角(显然),则三棱锥的体积为BbAOac图4CBbAOac图5C3推论2(三棱锥最大体积公式)如图2,三棱锥的三条侧棱,其夹角(显然),则当且仅当时,即两两垂直时(如图5),其体积最

3、大,为证明:由公式(1),再结合三个数的均值不等式,我们有上述放大过程,第一个“”中的“=”成立,当且仅当成立;第二个“”中的“=”成立,当且仅当,即.因此,两个“”中的“=”成立,即体积取到最大值,当且仅当与同时成立,即亦即成立,也就是两两垂直,证毕.3