巧用面积守恒法求内切圆半径

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1、巧用面积守恒法求内切圆半径苏科版教材九年级上册《中心对称图形（二）》中有这样一道练习题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB、BC、CA的长分别为5、3、4．求△ABC的内切圆半径r．　　　　分析连结OA、OB、OC，将△ABC分成三个小三角形△ABO、△BCO和△ACO(如图2)．这三个三角形都具有下列特征：即分别以△ABC的三边AB、BC、AC为底，其边上的高都为内切圆的半径r，则可用面积守恒来解决问题．变式一如图3，已知△ABC的周长和面积都为16，求这个三角形的内切圆半径．分析连结AO、BO、CO，将△ABC分成三个小三角形△ABO、△BCO和△ACO

2、．他们分别以三边AB、BC、AC为底，内切圆半径r为高．变式一可以帮我们总结出已知三角形的周长c和面积s，得出这个三角形的内切圆半径．变式二如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB、BC、CA的长分别为5、4、3．⊙O分别与AB及CA、CB的延长线相切，求⊙O的半径，分析3本题虽不是求内切圆半径，但是依然可以用面积守恒的方法来解决．与课本题类似，只要连结OA、OB、OC，再连接圆心与各边的切点，就容易得到变式三如图5，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB、BC、CA的长分别为5、3、4．其中有两个互相外切的等圆都与斜边相切，且分别与两直角边相切，求两个等圆的半

3、径的长．分析因为本题当中没有特殊角度，只有直角三角形的三条边长，乍一看很难找到方法．但如果能利用面积守恒法解决本题，就比较容易了．　　拓展延伸如图6，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4．其中⊙O1，⊙O2，…，⊙On为n(n≥2)个相等的圆，且相邻两圆都外切，他们都与边AB相切．其中⊙O1与AC边相切，⊙On与BC边相切．求这些等圆的半径r（用n表示）．分析和变式三类似，将三角形分割成四部分，利用四部分的面积和等于三角形ABC的面积易解本题．3反思本文列举的求三角形内切圆半径问题的相似之处在于，圆都与直角三角形斜边相切，一个圆（或几个等圆）分别与两条

4、直角边相切，几个圆之间相外切，这就提示我们，连结圆心和切点的半径必垂直于切线，这条半径就是连结顶点与圆心所成的三角形的高，进而可以用内切圆半径r表示三角形（或梯形）面积．当然，解决变式三及其拓展，面积守恒并不是唯一的方法，以变式三为例，还可以将⊙O2连同BC边向左平移，使⊙O2与⊙O1重合，利用相似三角形来解答．3