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时间:2019-01-07
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1、巧用割补法求阴影部分面积 九年级上册学完扇形的面积公式后,细心的同学一定会发现,与扇形有关的练习题常常以“与圆有关的求解阴影部分面积”的形式出现.这类题目看起来复杂,其实只要掌握好解题技巧,就能化繁为简.下面通过几个例子详细介绍解决这类题目最常用的割补法. 类型一:分割法 例1如图1所示的阴影部分,其形状称为“弓形”,其面积为所对扇形与三角形面积之差.即:S阴影=S扇形AOB-S△AOB 【拓展练习】 练习1如图2所示,求阴影部分面积. 【分析】阴影部分实际上是两个弓形,其面积可表示为半圆面积
2、减去直角三角形的面积. 解:S阴影=S半圆-S三角形=[12]π×52-6×8×[12]=12.5π-24 练习2如图3,正方形ABCD的边长为a,以顶点B,D为圆心,以边长a为半径分别画弧,求在正方形内两弧所围成的图形的面积. 【分析】连接AC,将这阴影的图形,分割转化为两个相同的弓形求解。 解:S阴影=2(S扇形ADC-S△ADC)=2([90πa2360-12][a2])=[12πa2]-[a2] 练习3如图4,正方形的边长为2a,以各边为直径在正方形内分别作半圆,求四弧所围成的阴影部分图
3、形的面积.4 【分析】方法一,可以将整个图形分割成4个练习2中的图形,然后按照练习2中的解题方法求解,解答略.方法二,这个图形是正方形内4个半圆互相重叠,阴影部分刚好是正方形对角线在4个半圆中切出的8个弓形之和,因此阴影部分面积可表示为4个半圆面积减4个等腰直角三角形面积,而这4个等腰直角三角形面积之和正是该正方形的面积.解答如下: 解:S阴影=4S半圆-S正方形=4×[12]π[a2]-4[a2]=(2π-4)[a2] 类型二:拼补法.此类题目一般是将几个图形进行拼、接补全后,形成较规则的图形,再
4、解答. 例2(1)如图5,⊙A,⊙B,⊙C两两不相交,且它们的半径都是0.5cm,则图中三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和为多少? (2)若在题(1)的条件下,增加一个圆,变成如图6所示图形,设这四个圆的半径都是r,则这四个圆中阴影部分面积之和为多少? (3)若在题(1)的条件下,有n个这样的半径都是r的圆,如图7所示,那么这n个圆中阴影部分的面积之和又为多少呢?请说明理由. 【分析】这些扇形所在圆的半径均相同,但是各自圆心角度数不确定,但当我们将其拼接后,会发现图5中圆心角的度数之和就是△AB
5、C的内角和,这样就可以化零为整,将阴影部分整合成一个图形求解.问题(2)和问题(3)都可以按照此方法求解,只是阴影部分拼接成的图形圆心角度数变成了多边形的内角和. 解:(1)[S阴影=180π×0.52360=0.125π] (2)[S阴影=360πr2360=πr2]4 (3)[S阴影=180(n-2)πr2360=(n-2)πr22] 【拓展练习】 练习4如图8,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,两等圆⊙A,⊙B外切,那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为多少? 【分
6、析】由于这两个扇形半径相等,且∠A+∠B=90°,可以将这两个扇形拼接在一起形成一个圆心角为90°的扇形. 类型三:等积变形法,又可以分为平移法、对称法、等底同高法几类. 例3平移法. 如图9,两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行,且弦AB与小半圆相切,那么图中阴影部分的面积为多少? 【分析】在大半圆中,任意移动小半圆的位置,阴影部分面积都保持不变,所以可将小半圆平移至两个半圆共圆心,位置如图10所示. 例4对称法. 如图11,PA,PB是半径为1的⊙O的两条切线,点A,B分别为切点,∠AP
7、B=60°,OP与弦AB交于点C,与⊙O交于点D.求阴影部分的面积(结果保留π). 【分析】△ACO与△BCO关于直线OP对称,可将△BCO换为△ACO,即可将阴影部分合为一个扇形. [解:∵PA,PB是半径为1的⊙O的两条切线,点A,B分别为切点∴PA=PB且OA⊥PA,∠APO=12∠APB=12×60°=30°又∵OA=OB∴OP垂直平分AB.即AB⊥OC,AC=BC又∵OC=OC∴△BCO≌△ACO(SAS)∴S△ACO=SΔBCO,即S阴影=S扇形AOD∵在Rt△APO中∠AOP=90°-3
8、0°=60°∴S阴影=604π×12360=16π] 例5等底同高法. 如图12所示,正方形ABCD内接于⊙O,直径MN∥AD,则阴影部分面积占圆面积的比例为多少? 【分析】阴影部分图形不规则,需要将其进行图形变换,拼接在一起.如图13,连接OD,OC,根据图形的轴对称性和等底等高的三角形的面积相等,易知阴影部分的面积即为扇形OCD的面积,再根据正方形的四个顶点是圆的四等分点,即可求解. 用割补法求阴影部分面积,其核心
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