巧用割补法求阴影部分面积

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1、巧用割补法求阴影部分面积　　九年级上册学完扇形的面积公式后，细心的同学一定会发现，与扇形有关的练习题常常以“与圆有关的求解阴影部分面积”的形式出现.这类题目看起来复杂，其实只要掌握好解题技巧，就能化繁为简.下面通过几个例子详细介绍解决这类题目最常用的割补法.　　类型一：分割法　　例1如图1所示的阴影部分，其形状称为“弓形”，其面积为所对扇形与三角形面积之差.即：S阴影=S扇形AOB-S△AOB　　【拓展练习】　　练习1如图2所示，求阴影部分面积.　　【分析】阴影部分实际上是两个弓形，其面积可表示为半圆面积

2、减去直角三角形的面积.　　解：S阴影=S半圆-S三角形=[12]π×52-6×8×[12]=12.5π-24　　练习2如图3，正方形ABCD的边长为a，以顶点B，D为圆心，以边长a为半径分别画弧，求在正方形内两弧所围成的图形的面积.　　【分析】连接AC，将这阴影的图形，分割转化为两个相同的弓形求解。　　解：S阴影=2（S扇形ADC-S△ADC）=2（[90πa2360-12][a2]）=[12πa2]-[a2]　　练习3如图4，正方形的边长为2a，以各边为直径在正方形内分别作半圆，求四弧所围成的阴影部分图

3、形的面积.4　　【分析】方法一，可以将整个图形分割成4个练习2中的图形，然后按照练习2中的解题方法求解，解答略.方法二，这个图形是正方形内4个半圆互相重叠，阴影部分刚好是正方形对角线在4个半圆中切出的8个弓形之和，因此阴影部分面积可表示为4个半圆面积减4个等腰直角三角形面积，而这4个等腰直角三角形面积之和正是该正方形的面积.解答如下：　　解：S阴影=4S半圆-S正方形=4×[12]π[a2]-4[a2]=（2π-4）[a2]　　类型二：拼补法.此类题目一般是将几个图形进行拼、接补全后，形成较规则的图形，再

4、解答.　　例2（1）如图5，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，则图中三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为多少？　　（2）若在题（1）的条件下，增加一个圆，变成如图6所示图形，设这四个圆的半径都是r，则这四个圆中阴影部分面积之和为多少？　　（3）若在题（1）的条件下，有n个这样的半径都是r的圆，如图7所示，那么这n个圆中阴影部分的面积之和又为多少呢？请说明理由.　　【分析】这些扇形所在圆的半径均相同，但是各自圆心角度数不确定，但当我们将其拼接后，会发现图5中圆心角的度数之和就是△AB

5、C的内角和，这样就可以化零为整，将阴影部分整合成一个图形求解.问题（2）和问题（3）都可以按照此方法求解，只是阴影部分拼接成的图形圆心角度数变成了多边形的内角和.　　解：（1）[S阴影=180π×0.52360=0.125π]　　（2）[S阴影=360πr2360=πr2]4　　（3）[S阴影=180（n-2）πr2360=（n-2）πr22]　　【拓展练习】　　练习4如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为多少？　　【分

6、析】由于这两个扇形半径相等，且∠A+∠B=90°，可以将这两个扇形拼接在一起形成一个圆心角为90°的扇形.　　类型三：等积变形法，又可以分为平移法、对称法、等底同高法几类.　　例3平移法.　　如图9，两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且弦AB与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积为多少？　　【分析】在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆平移至两个半圆共圆心，位置如图10所示.　　例4对称法.　　如图11，PA，PB是半径为1的⊙O的两条切线，点A，B分别为切点，∠AP

7、B=60°，OP与弦AB交于点C，与⊙O交于点D.求阴影部分的面积（结果保留π）.　　【分析】△ACO与△BCO关于直线OP对称，可将△BCO换为△ACO，即可将阴影部分合为一个扇形.　　[解：∵PA，PB是半径为1的⊙O的两条切线，点A，B分别为切点∴PA=PB且OA⊥PA，∠APO=12∠APB=12×60°=30°又∵OA=OB∴OP垂直平分AB.即AB⊥OC，AC=BC又∵OC=OC∴△BCO≌△ACO（SAS）∴S△ACO=SΔBCO，即S阴影=S扇形AOD∵在Rt△APO中∠AOP=90°-3

8、0°=60°∴S阴影=604π×12360=16π]　　例5等底同高法.　　如图12所示，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积的比例为多少？　　【分析】阴影部分图形不规则，需要将其进行图形变换，拼接在一起.如图13，连接OD，OC，根据图形的轴对称性和等底等高的三角形的面积相等，易知阴影部分的面积即为扇形OCD的面积，再根据正方形的四个顶点是圆的四等分点，即可求解.　　用割补法求阴影部分面积，其核心