巧用面积守恒法求内切圆半径

巧用面积守恒法求内切圆半径

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时间:2018-07-27

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1、巧用面积守恒法求内切圆半径苏科版教材九年级上册《中心对称图形(二)》中有这样一道练习题:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB、BC、CA的长分别为5、3、4.求△ABC的内切圆半径r.    分析连结OA、OB、OC,将△ABC分成三个小三角形△ABO、△BCO和△ACO(如图2).这三个三角形都具有下列特征:即分别以△ABC的三边AB、BC、AC为底,其边上的高都为内切圆的半径r,则可用面积守恒来解决问题.变式一如图3,已知△ABC的周长和面积都为16,求这个三角形的内切圆半径.分析连结AO、BO、CO,将△ABC分成三个小三角形△ABO、△BCO和△ACO

2、.他们分别以三边AB、BC、AC为底,内切圆半径r为高.变式一可以帮我们总结出已知三角形的周长c和面积s,得出这个三角形的内切圆半径.变式二如图4,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB、BC、CA的长分别为5、4、3.⊙O分别与AB及CA、CB的延长线相切,求⊙O的半径,分析3本题虽不是求内切圆半径,但是依然可以用面积守恒的方法来解决.与课本题类似,只要连结OA、OB、OC,再连接圆心与各边的切点,就容易得到变式三如图5,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB、BC、CA的长分别为5、3、4.其中有两个互相外切的等圆都与斜边相切,且分别与两直角边相切,求两个等圆的半

3、径的长.分析因为本题当中没有特殊角度,只有直角三角形的三条边长,乍一看很难找到方法.但如果能利用面积守恒法解决本题,就比较容易了.  拓展延伸如图6,已知Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4.其中⊙O1,⊙O2,…,⊙On为n(n≥2)个相等的圆,且相邻两圆都外切,他们都与边AB相切.其中⊙O1与AC边相切,⊙On与BC边相切.求这些等圆的半径r(用n表示).分析和变式三类似,将三角形分割成四部分,利用四部分的面积和等于三角形ABC的面积易解本题.3反思本文列举的求三角形内切圆半径问题的相似之处在于,圆都与直角三角形斜边相切,一个圆(或几个等圆)分别与两条

4、直角边相切,几个圆之间相外切,这就提示我们,连结圆心和切点的半径必垂直于切线,这条半径就是连结顶点与圆心所成的三角形的高,进而可以用内切圆半径r表示三角形(或梯形)面积.当然,解决变式三及其拓展,面积守恒并不是唯一的方法,以变式三为例,还可以将⊙O2连同BC边向左平移,使⊙O2与⊙O1重合,利用相似三角形来解答.3

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