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时间:2018-07-27
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1、利用空间向量计算距离问题主讲教师:巫宇霞【知识概述】利用空间向量计算距离问题1.空间两点间的距离已知空间两点,则A,B两点间的距离为.2.点到直线的距离已知直线l的方向向量为,P为l外一点,PO⊥l于O,PA与l交于A,则点P到直线l的距离3.点到平面的距离已知P为平面外一点,PA为平面的斜线段,PO⊥平面于O,的法向量为,则点P到平面的距离.直线到平面的距离,平面到平面的距离可以转化为点到平面的距离.【学前诊断】1.[难度]中正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,点E、F
2、分别为棱AB、BC的中点,EF∩BD=G,求点D1到平面B1EF的距离d.4数学·选修2-12.[难度]中已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1⊥AC1.(1)求证:AC1⊥平面A1BC;(2)求点C1到平面A1AB的距离;3.[难度]难如图所示,在三棱锥P—ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(1)求证:PC⊥AB;(2)求二面角B—AP—C的余弦值;(3)求点C到平面APB的距
3、离.【经典例题】例1.二面角α-l-β等于120°,A、B是棱l上两点,AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=BD=1,则CD的长等于________.例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O为底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为( )A. B.C.D.例3.如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.证明:在△ABO内存在一点M
4、,使FM⊥平面BOE,并求点M到OA,OB的距离.例4.已知在四边形ABCD中,AD//BC,AD=AB=1,,将△ABD沿对角线BD折起到如图所示PBD的位置,使平面.求点D到平面PBC的距离.4数学·选修2-1例5.如图,正方形、的边长都是1,而且平面、互相垂直.点在上移动,点在上移动,若.(Ⅰ)求的长;(Ⅱ)当为何值时,的长最小;(Ⅲ)当长最小时,求面与面所成的二面角的余弦值.【本课总结】1.求空间中两点的距离就是利用距离公式.2.求点到直线、点到平面的距离,可以利用本节课所学的公式来解决.3
5、.在对公式记忆不清时,求点到直线的距离、点到平面的距离时,可以通过作出图形,借助空间向量与勾股定理来解决.4.在求空间距离时,可以利用等体积法等方法,有时会非常简便.【活学活用】1.[难度]中已知是底面边长为1的正四棱柱,是和的交点.(1)设与底面所成的角的大小为,二面角的大小为.求证:;(2)若点到平面的距离为,求正四棱柱的高.4数学·选修2-11.[难度]难如图,在三棱柱中,是正方形的中心,,,且.(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求二面角的正弦值;(3)设为棱的中点,点在平面内,且,求线
6、段的长.3.[难度]难如图,在四棱锥中,且;平面平面,;为的中点,.求:(1)点到平面的距离;(2)二面角的大小.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4数学·选修2-1
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