代数补充整理文章

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1、代数补充考研题整理之行列式计算行列式计算的几种方法在高等代数中,行列式的求解是非常重要的,行列式与矩阵、线性方程组都有着密切的联系。在历年各高校考研题中也经常出现，从而掌握行列式的计算至关重要。而直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显。行列式的重点是计算,应当在理解阶行列式的概念,掌握行列式性质的基础上,熟练正确地计算三阶,四阶行列式以及n阶行列式的值.计算行列式的基本宗旨是“化零”和“降阶”，以下的几种方法从根本上都是为了达到“化零”和“降阶”的目的，从而使计算所求行列式变得简单。一、化三角法21

2、代数补充化三角法就是利用行列式的性质，依据行列式自身特点，将要求的行列式化成上(下)三角形行列式或对角形行列式。化三角法是计算行列式最基本的方法，一般适用于“爪型”行列式。对许多行列式都不是可以直接化三角，一般先通过其他方法将其化为“爪型”行列式，然后再用化三角法计算。注：1、三角形行列式包括上三角形行列式(主对角线下方的元素全为零的行列式)和下三角形行列式(主对角线上方的元素全为零的行列式),三角形行列式的值等于主对角线上所有元素的乘积,即2、“爪型”行列式，其零元分布图如下：，，二、升阶法升阶法是将所要计算的n阶行列式适当地

3、添加一行或一列,得到一个新的阶行列式,保持行列式的值不变,但所得新的阶行列式较易计算,升阶法一般在行列式出现每一行（或每一列）有许多相同数时适用。升阶法的一般做法是:21代数补充或其中的取值不影响行列式的值，所以可以根据题目的具体情况任意选取有助于题目计算的值。例1：（武汉大学2007年）：计算行列式，其中。分析：中第列都有许多相同的元素，适用升阶法。解：21代数补充例2：（武汉大学2004年）计算行列式，其中。分析：中每一列都有相同的元素，如果利用升阶法将每一列都减去，则行列式就会变得较易计算。解：21代数补充（加边）（再加边

4、）21代数补充例3：（上海大学2003年）计算行列式。分析：观察知中每一列（行）都有相同的元，适合用升阶法。21代数补充解：（化三角）三、降阶（递推）法降阶（递推）法就是把一个行列式化简为阶数比他小一阶行列式，然后以此类推，直到把这个行列式化为若干个2阶行列式来计算。一般适用于4阶或5阶行列式，对于n阶行列式降阶法只限于行列式在降阶后存在递推关系时才适用。特别需要注意的是，按行或列展开时一定要使某一行或某一列含有充分多的零元素，这样才能效减少运算量.由此可见应用降阶法时，应当恰当利用行列式的性质，选择好行或列，使其某一行(列)化

5、为较多的零元素，再按该行或列展开。例4：（北工大2002年）计算行列式21代数补充。分析：虽然中有许多零，但不适合用化三角法，观察知按第n行展开，可得递推关系式。解：按第n行展开，得。下面分n为奇数和偶数两种情况讨论。：当n为偶数，有。依此递推得。：当n为偶数，有。依此递推得。例5：（复旦大学2002年）计算下列行列式的值：。21代数补充解：取特征多项式，得可设另由得例6：（上海交通大学，2002年）计算n阶行列式。分析：由于该行列式没有足够多的零元，无法直接降阶。但在拆项后能得到一个容易计算的行列式和另一个可以降阶递推得行列式

6、，使计算简便。解：21代数补充（先拆项）即取，由于，有可得21代数补充两式相减得，当时，，当时，，故综上有。四、逐行（列）相减法（也称“翻身法”）逐行（列）相减法就是当行列式相邻两行（列）均相差一个固定数时，可以将行列式从某一行（列）起，把第行乘这个固定数加到第行，从而简化行列式，使其更容易计算。例7：（浙江大学2001年）设，计算行列式其中，即。分析：观察知中每相邻两行的对应元均相差1，将从第二行开始逐行相减就可以简化行列式。解：从第2行起将第行乘（-1）加到第行（），得21代数补充（将第n行分别加到其他各行）例8：（广西大学

7、2001年）计算n阶行列式分析：观察知中每相邻两行的对应元均相差1，将从第二行开始逐行相减就可以简化行列式。解：从第2行起将第行乘（-1）加到第行（），得21代数补充（将所有列都加到第一列）（按第一列展开）（加边）（第一行乘（-1）加到其他各行上去）21代数补充（化三角，将第列乘以（）加到第一列上去）五、其他方法上面提到的化三角法，升阶法，降阶递推法，逐行（列）相减法是计算行列式时最常用的四种方法。但是对于某些特殊行列式，还有某些特殊的计算方法。下面例举几种。1、利用特殊行列式（如范德蒙德（Vandermonde）行列式）范德蒙

8、德（Vandermonde）行列式具有逐行元素方幂递增的特点,且范德蒙德（Vandermonde）行列式的值已经求得，因此在遇到具有这种特点的行列式时,可以考虑将其转化为范得蒙行列式并利用相应的结果求值。注：范德蒙德（Vandermonde）行列式21代数补充例