代数系统-环-例题

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1、例题1、设,都是环，A1´A2是环的直积定义为：A1´A2={

2、aÎA1,bÎA2}。在A1´A2上定义运算Å和Ä如下：对任意的,ÎA1´A2，则Å=Ä=证明：（1）构成环；（2）若A1,A2都是有单位元的环，则A1´A2也是吗？（3）若A1,A2都是无零因子的环，则A1´A2也是吗？（1）交换群首先运算是封闭的，是一个代数系统：对任意的,

3、ÎA1´A2，Å=因为,都是环，所以★运算在A1，A2上封闭，a1ÎA1，a2ÎA1,所以，a1★a2ÎA1,b1ÎA2，b2ÎA2,所以，b1★b2ÎA2，所以ÎA1´A2所以封闭结合律：对任意的,ÎA1´A2，(Å)Å＝<(a1★a2)★a3,(b1★b2)★b3>Å(Å)＝

4、)>因为,都是环，所以,满足结合律所以(a1★a2)★a3＝a1★(a2★a3)，(b1★b2)★b3＝b1★(b2★b3)所以<(a1★a2)★a3,(b1★b2)★b3>＝所以(Å)Å＝Å(Å)所以满足结合律单位元：设,上单位元分别是e1,e2则，任取ÎA1´A2，Å==

5、,e2>Å==所以存在单位元逆元：任取ÎA1´A2，因为,都是环，所以在上存在a1的逆元，在上存在b1的逆元，Å<,>==,所以<,>是的逆元，所以，存在逆元交换律：对任意的,ÎA1´A2，Å=Å=因为,都是

6、环，所以满足交换律，满足交换律，所以，a1★a2＝a2★a1，b1★b2＝b2★b1，所以＝所以，Å＝Å所以，满足交换律半群首先运算是封闭的，是一个代数系统对任意的,ÎA1´A2，Ä=因为,都是环，所以*运算在A1，A2上封闭，a1ÎA1，a2ÎA1,所以，a1*a2ÎA1,b1ÎA2，b2ÎA2,所以，b1

7、*b2ÎA2，所以ÎA1´A2所以封闭结合律：对任意的,ÎA1´A2，(Ä)Ä＝<(a1*a2)*a3,(b1*b2)*b3>Ä(Ä)＝因为,都是环，所以,是半群，满足结合律所以(a1*a2)*a3＝a1*(a2*a3)，(b1*b2)*b3＝b1*(b2*b3)所以<(a1*a2)*a3,(b1*b2)*b3>＝

8、1*(a2*a3),b1*(b2*b3)>所以(Ä)Ä＝Ä(Ä)所以满足结合律Ä对Å满足分配律对任意的,ÎA1´A2，Ä(Å)＝(Ä)Å(Ä)=<(a1*a2)★(a1*a3),(b1*b2)★(b1*b3)>因为,都是环,所以，a1*(a2★a3)＝(