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时间:2018-07-27
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1、例题1、设,都是环,A1´A2是环的直积定义为:A1´A2={
2、aÎA1,bÎA2}。在A1´A2上定义运算Å和Ä如下:对任意的,ÎA1´A2,则Å=Ä=证明:(1)构成环;(2)若A1,A2都是有单位元的环,则A1´A2也是吗?(3)若A1,A2都是无零因子的环,则A1´A2也是吗?(1)交换群首先运算是封闭的,是一个代数系统:对任意的,
3、ÎA1´A2,Å=因为,都是环,所以★运算在A1,A2上封闭,a1ÎA1,a2ÎA1,所以,a1★a2ÎA1,b1ÎA2,b2ÎA2,所以,b1★b2ÎA2,所以ÎA1´A2所以封闭结合律:对任意的,ÎA1´A2,(Å)Å=<(a1★a2)★a3,(b1★b2)★b3>Å(Å)=4、)>因为,都是环,所以,满足结合律所以(a1★a2)★a3=a1★(a2★a3),(b1★b2)★b3=b1★(b2★b3)所以<(a1★a2)★a3,(b1★b2)★b3>=所以(Å)Å=Å(Å)所以满足结合律单位元:设,上单位元分别是e1,e2则,任取ÎA1´A2,Å==5、,e2>Å==所以存在单位元逆元:任取ÎA1´A2,因为,都是环,所以在上存在a1的逆元,在上存在b1的逆元,Å<,>==,所以<,>是的逆元,所以,存在逆元交换律:对任意的,ÎA1´A2,Å=Å=因为,都是6、环,所以满足交换律,满足交换律,所以,a1★a2=a2★a1,b1★b2=b2★b1,所以=所以,Å=Å所以,满足交换律半群首先运算是封闭的,是一个代数系统对任意的,ÎA1´A2,Ä=因为,都是环,所以*运算在A1,A2上封闭,a1ÎA1,a2ÎA1,所以,a1*a2ÎA1,b1ÎA2,b2ÎA2,所以,b17、*b2ÎA2,所以ÎA1´A2所以封闭结合律:对任意的,ÎA1´A2,(Ä)Ä=<(a1*a2)*a3,(b1*b2)*b3>Ä(Ä)=因为,都是环,所以,是半群,满足结合律所以(a1*a2)*a3=a1*(a2*a3),(b1*b2)*b3=b1*(b2*b3)所以<(a1*a2)*a3,(b1*b2)*b3>=8、1*(a2*a3),b1*(b2*b3)>所以(Ä)Ä=Ä(Ä)所以满足结合律Ä对Å满足分配律对任意的,ÎA1´A2,Ä(Å)=(Ä)Å(Ä)=<(a1*a2)★(a1*a3),(b1*b2)★(b1*b3)>因为,都是环,所以,a1*(a2★a3)=(
4、)>因为,都是环,所以,满足结合律所以(a1★a2)★a3=a1★(a2★a3),(b1★b2)★b3=b1★(b2★b3)所以<(a1★a2)★a3,(b1★b2)★b3>=所以(Å)Å=Å(Å)所以满足结合律单位元:设,上单位元分别是e1,e2则,任取ÎA1´A2,Å==5、,e2>Å==所以存在单位元逆元:任取ÎA1´A2,因为,都是环,所以在上存在a1的逆元,在上存在b1的逆元,Å<,>==,所以<,>是的逆元,所以,存在逆元交换律:对任意的,ÎA1´A2,Å=Å=因为,都是6、环,所以满足交换律,满足交换律,所以,a1★a2=a2★a1,b1★b2=b2★b1,所以=所以,Å=Å所以,满足交换律半群首先运算是封闭的,是一个代数系统对任意的,ÎA1´A2,Ä=因为,都是环,所以*运算在A1,A2上封闭,a1ÎA1,a2ÎA1,所以,a1*a2ÎA1,b1ÎA2,b2ÎA2,所以,b17、*b2ÎA2,所以ÎA1´A2所以封闭结合律:对任意的,ÎA1´A2,(Ä)Ä=<(a1*a2)*a3,(b1*b2)*b3>Ä(Ä)=因为,都是环,所以,是半群,满足结合律所以(a1*a2)*a3=a1*(a2*a3),(b1*b2)*b3=b1*(b2*b3)所以<(a1*a2)*a3,(b1*b2)*b3>=8、1*(a2*a3),b1*(b2*b3)>所以(Ä)Ä=Ä(Ä)所以满足结合律Ä对Å满足分配律对任意的,ÎA1´A2,Ä(Å)=(Ä)Å(Ä)=<(a1*a2)★(a1*a3),(b1*b2)★(b1*b3)>因为,都是环,所以,a1*(a2★a3)=(
5、,e2>Å==所以存在单位元逆元:任取ÎA1´A2,因为,都是环,所以在上存在a1的逆元,在上存在b1的逆元,Å<,>==,所以<,>是的逆元,所以,存在逆元交换律:对任意的,ÎA1´A2,Å=Å=因为,都是
6、环,所以满足交换律,满足交换律,所以,a1★a2=a2★a1,b1★b2=b2★b1,所以=所以,Å=Å所以,满足交换律半群首先运算是封闭的,是一个代数系统对任意的,ÎA1´A2,Ä=因为,都是环,所以*运算在A1,A2上封闭,a1ÎA1,a2ÎA1,所以,a1*a2ÎA1,b1ÎA2,b2ÎA2,所以,b1
7、*b2ÎA2,所以ÎA1´A2所以封闭结合律:对任意的,ÎA1´A2,(Ä)Ä=<(a1*a2)*a3,(b1*b2)*b3>Ä(Ä)=因为,都是环,所以,是半群,满足结合律所以(a1*a2)*a3=a1*(a2*a3),(b1*b2)*b3=b1*(b2*b3)所以<(a1*a2)*a3,(b1*b2)*b3>=8、1*(a2*a3),b1*(b2*b3)>所以(Ä)Ä=Ä(Ä)所以满足结合律Ä对Å满足分配律对任意的,ÎA1´A2,Ä(Å)=(Ä)Å(Ä)=<(a1*a2)★(a1*a3),(b1*b2)★(b1*b3)>因为,都是环,所以,a1*(a2★a3)=(
8、1*(a2*a3),b1*(b2*b3)>所以(Ä)Ä=Ä(Ä)所以满足结合律Ä对Å满足分配律对任意的,ÎA1´A2,Ä(Å)=(Ä)Å(Ä)=<(a1*a2)★(a1*a3),(b1*b2)★(b1*b3)>因为,都是环,所以,a1*(a2★a3)=(
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