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1、高等代数例题第一章多项式1．2（1）、、适合什么条件时，有2．7设，的最大公因式是一个二次多项式，求、的值。3．14证明：如果，那么4．18求多项式有重根的条件。5．24证明：如果，那么6．25证明：如果，那么，7．26求多项式在复数域内和实数域内的因式分解。8．28（4）多项式（为奇素数）在有理数域上是否可约？9．1设，，且。求证：。10．5多项式称为多项式，的一个最小公倍式，如果（1），；（2），的任意一个公倍式都是的倍式。我们以表示首项系数为1的那个最小公倍式。证明：如果，的首项系数都为1，那么。11．设、为整数，除所得余式为。1
2、2．求证：如果
3、，
4、，且是与的一个组合，那么是与的一个最大公因式。13．求。-16-14．设(m,n是正整数),。证：
5、。第二章行列式1．5如果排列的逆序数为，排列的逆序数是多少？2．8（3）3．10按行列式的定义计算4．12设，其中是互不相同的数。（1）由行列式的定义，说明是一个次多项式；（2）由行列式性质，求的根。5．146．17（5）7．18（3）证明，其中-16-8．18（5），其中。9．设、、为三维列向量，三阶矩阵的行列式5，则行列式。10．若四阶行列式D的第二列的元素依次是，2，0，1，它们的余子式分别为5，3，,4，则。1
6、1．若，则0的根的个数为【】(A)(B)(C)(D)12．计算行列式Dn=13．求Dn+1=的值。14．计算阶行列式-16-第三章线性方程组1．7（3）解线性方程组2．6设线性无关，证明，，也线性无关。3．8设的秩为，是中的个向量，使得中的每个向量都可以被它们线性表示，证明是的一个极大线性无关组。4．12证明：如果向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示，那么（Ⅰ）的秩不超过（Ⅱ）的秩。5．19（1）取什么值时下列线性方程组有解，并求解：6．22取什么值时，线性方程组有解？在有解的情形，求一般解。7．1设向量可以经向量组线性表示，证明：表示
7、法唯一的充分必要条件是线性无关。8．4已知两向量组有相同的秩，且其中之一可被另一个线性表示，证明：这两个向量组等价。9．7线性方程组的系数矩阵为设是矩阵中划去第列剩下的矩阵的行列式。（1）证明：是方程组的一个解；-16-（1）如果的秩为，那么方程组的解全是的倍数。10．求,,,的一个极大线性无关组，并将其它向量用极大线性无关组线性表示：，,,11．设四，，，。讨论、为何值时（1）不能由,,线性表示；（2）可由,,唯一地线性表示，并求出表示式；（3）可由,,线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。12．维向量是非齐次线性方程组AX=B的两
8、个解，则导出组AX=0的一个非零解为。13．设,,…，是齐次线性方程组的基础解系，向量不是的解，即。证明：，，，…，线性无关。14．若是非齐次线性方程组（）的个解，则是的解的充要条件是．15．设整系数方程组，，对任何，，…，均有整数解。求证：方程组的系数矩阵可逆，且．-16-第四章矩阵1．设为阶矩阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得，则满足的可逆矩阵为【】(A)(B)(C)(D)2．设（）阶非奇异矩阵的伴随矩阵是，则【】(A)(B)(C)(D)3．设阶矩阵与等价（即经初等变换可变为），则必须【】(A)当时，(B)当时，
9、(C)当时，(D)当时，4．设为三阶方阵,
10、
11、；为二阶方阵,
12、
13、(都不等于零),则等于【】(A)(B)(C)(D)5．设、分别为和矩阵，则【】(A)当时，必有(B)当时，必有(C)当时，必有(D)当时，必有6．设为对称矩阵，B为反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是【】(A)(B)(C)(D)7．设、为满足的任意两个非零矩阵，则必有【】(A)的列向量线性相关，的行向量线性相关(B)的列向量线性相关，的列向量线性相关(C)的行向量线性相关，的行向量线性相关(D)的行向量线性相关，的列向量线性相关8．设为3维列向量，若，则。9．，为三阶可
14、逆矩阵，，则。-16-10．设，=，求11．设为4×3矩阵，，若2，则。12．已知方阵满足，则。13．设为阶单位矩阵，求2阶矩阵的逆矩阵。14．设、分别是和矩阵，若，求证。15．设（）阶矩阵的伴随矩阵是，求证：。16．设（）阶矩阵的伴随矩阵是，求证：。17．设、分别是和矩阵，求证。18．设、分别是和矩阵，，是非零数，求证：。-16-第五章二次型1．求三元二次型的矩阵。2．两个矩阵的秩相等是它们合同的条件。3．用配方法求二次型的标准形。4.用初等变换法求下列二次型的标准形，并求非退化的线性变换：（1）（2）5.设为级实对称矩阵，正定的充分
15、必要条件是【】(A)存在实维列向量，使(B)对任意的所有分量都不为零的实维列向量，都有(C)的主对角线上的元素，(D)存在级正定矩阵，使6．矩阵是正定的，下列结论错误的是【】(A)的主对角元全为正数(B)的
