资源描述：
《高等代数与解析几何第4章全部课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第四章第四章几何空间中的平面与直线几何空间中的平面与直线§1几何空间中平面的仿射性质几何空间中平面的仿射性质1、方程组的解集与图象⎧Fx(,y,z)=01⎪⎨??(1.1)⎪⎩Fxs(,y,z)=03维向量方程组的解为(,xy,z)仿射标架下空间一点则方程组的解的全体为Wx={(,y,z)
2、(x,y,z)是方程组的解}3的子集R空间中点轨迹方程组（1）的图象2．对空间平面的描述平面的一般方程命题1.1一次方程Ax++ByCz+D=0(A,B,C不全为零)的图象是空间中的平面。反之，任何平面都是某个一次方程的图象。平面的三点式方程通过三
3、个不共面的点M(,xy,z),M(x,y,z),M(x,y,z)111122223333的平面的方程为xyz1xyz1111=0xyz1222xyz1333平面的截距式方程通过三个M(aM,0,0),(0,b,0),M(0,0,c)123的平面的方程为xyz++=1abc4、平面的参数方程例1.1:已知两点M(1,−2,3)和M(3,0,−1),求线段MM1212的垂直平分面的方程。3．两个平面的位置关系命题8.2设两个平面的方程分别为Π:Ax11+By++C1zD1=01Π:Ax22+By++C2zD2=02(1)Π与Π2相交的充分
4、必要条件是两个方程的一1次项系数不成比例;(2)Π与Π重合的充分必要条件是两个方程的所12有系数成比例;(3)Π与Π2平行的充分必要条件是两个方程的一1次项系数成比例,但常数项不与这些系数成比例.例2.2:分别确定lm,,n的值(1)使以下平面平行重合∏+:(lx3)+(m+1)y+(n−3)z+8=0,1∏+:(mx3)+(n−9)y+(l−3)z−16=0.2(2)使以下平面平行∏:2xm++y3z−5=0,1∏:6lx−−y6z+2=0.2(3)使以下平面垂直∏:3lx+−yz+1=0,1∏−:7xy2−z=0.24．平面作图§
5、2几何空间中平面的度量性质本节总假定在空间中取定了一个直角坐标系。一.平面的点法式方程M(,xy,z)并且与一个非零向量设平面Π通过点0000GGnA=(,B,C)垂直,则平面Π是唯一确定的.非零向量n称为平面Π的一个法向量.现在来求平面Π的方程.显然点M(,xy,z)在平面Π上GJJJJJJG⇔nM⊥0MGJJJJJJG⇔nMi0M=0⇔Ax()−+xB(y−y)+C(z−z)=0000因此,方程Ax()−x+−B(yy)+C(z−z)=0(2.1)000就是平面Π的方程,称为平面Π的点法式方程.方程(2.1)可以整理为:Ax+By
6、++CzD=0(2.2)其中DA=−x−By−Cz.000这是平面的一般方程。例2.1求通过三点MM(1,1,1),(−2,1,2),M(−3,3,1)123的平面的方程.例2.2设平面Π通过点M0(1,2,−2)且与已知平面32xy−+z−2=0平行,求Π的方程.例2.3求通过两点MM(1,1,1),(0,1,−1)且垂直于12已知平面xy++=z0的平面Π的方程.二.点到平面的距离公式空间中的一个点Px(,y,z)到平面000Π:Ax+By++CzD=0的距离为Ax+By++CzD000d=222AB++C三.两个平面的夹角设有两
7、个平面Π:Ax11+By++C1zD1=01Π2:Ax22+By++C2zD2=0G定义这两个平面的夹角为它们的法向量nA=(,B,C)1111G与nA22=(,B2,C2)之间的夹角(通常指锐角),设这两平面的夹角为,则θGGninAA++BBCC12121212cosθ==GG
8、
9、nnA22++BC2A2++B2C212111222显然,平面Π1与Π2垂直的充分必要条件是:AA+BB+=CC0121212§3几何空间中直线的仿射性质一.直线的参数方程与标准方程直线L的参数方程为.⎧xx=+Xt0⎪⎨yy=+Yt0(3.1)⎪⎩z=
10、+zZt0消去参数，的直线的标准方程xx−y−−yzz000==（3.2）XYZ例3.1求通过两点M(,xy,z),M(x,y,z)的直线11112222L的标准方程.例3.2求通过点M(1,−3,0)且平行于平面052xy−+−z1=0与32yz−−=0的直线L的方程.xy−23−−z4例3.3求直线L:==与平面:11226xy++−z=0的交点.二.直线的一般方程一条直线也可看成两个平面的交线.当平面Ax+By++CzD=0与Ax+By++CzD=0不平行11112222时,方程组⎧Ax+By++CzD=01111(3.3)⎨⎩
11、Ax+By++CzD=02222就表示一条直线L(这两个平面的交线),称之为直线的一般方程.这时,直线L的一个方向向量为dB1CC111AA11Bv=(,,)BCCAAB222222例3.4已知一条直线的一般方程为⎧xy
