高等代数与解析几何第3章全部课件

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1、第三章线性方程组与线性子空间概述1、主要内容*高斯消元法*线性方程组解的讨论*线性子空间与线性方程组解的结构*几何应用2、历史透析*最早记载于中国的《九章算术》。*在西方，最早对方程组进行研究的是莱布尼兹。*克拉默给出了用行列式解方程组的法则。*在19世纪初，高斯创立了高斯消元法。高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭,1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受

2、教育。1795～1798年在格丁根大学学习,1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。*英国数学家史密斯和道奇森给出了解的判断性质.3、线性方程组及相关概念非齐次与齐次线性方程组⎧ax++ax?+ax=b1111221nn1

3、⎪⎪ax++ax?+ax=b对于方程组2112222nn2⎨(*)????????????⎪⎪ax++ax?+ax=b⎩mm1122mnnm若常数项b,b,?,b不全为零,则称此方程组为非12n齐次线性方程组;若常数项b,b,?,b全为零,12n此时称方程组为齐次线性方程组.线性方程组的系数矩阵和增广矩阵⎛⎞aa1112?a1n⎛⎞aa1112?a1nb1⎜⎟⎜⎟=⎜⎟aa2122?a2n=⎜⎟aa2122?a2nb2AA⎜⎟????⎜⎟?????⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟aa?a⎝⎠mm12mnaa?ab⎝⎠mm12

4、mnm方程组（*）的方程组（*）的增广矩阵系数矩阵方程组的另线性方程组的解（解向量）一种形式Τxx=(,x,?,x)12n第一节第一节消元法解线性方程组消元法解线性方程组一、消元法一、消元法分析：用消元法解下列方程组的过程．引例求解线性方程组⎧2x1−x2−x3+x4=2,1⎪⎪x1+x2−2x3+x4=4,2⎨(1)4x−6x+2x−2x=4,3÷2⎪1234⎪⎩3x+6x−9x+7x=9,41234解⎧x1+x2−2x3+x4=4,1⎪1↔2⎪2x1−x2−x3+x4=2,2(B)(1)⎨13÷22x−3

5、x+x−x=2,3⎪1234⎪⎩3x1+6x2−9x3+7x4=9,4⎧x1+x2−2x3+x4=4,12−3⎪3−2⎪2x2−2x3+2x4=0,21⎨(B)−5x+5x−3x=−6,324−31⎪234⎪⎩3x−3x+4x=−3,42341⎧x1+x2−2x3+x4=4,12×⎪2⎪x2−x3+x4=0,2(B)3⎨3+522x=−6,3⎪44−32⎪⎩x=−3,44⎧x1+x2−2x3+x4=4,1⎪3↔4⎪x2−x3+x4=0,2(B4)⎨4−23x=−3,3⎪4⎪⎩0=0,4用“回代”的方法求出解：

6、⎧x1=x3+4⎪于是解得⎨x2=x3+3其中x3为任意取值.⎪⎩x4=−3或令x=c,方程组的解可记作3⎛x1⎞⎛c+4⎞⎛1⎞⎛4⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜x2⎟⎜c+3⎟⎜1⎟⎜3⎟x==,即x=c+（2）⎜x⎟⎜c⎟⎜1⎟⎜0⎟3⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎝x4⎠⎝−3⎠⎝0⎠⎝−3⎠其中c为任意常数.小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（　与　相互替换）ij（2）以不等于０的数乘某个方程；（以　　　替换i×ki）（3）一个方程

7、加上另一个方程的k倍．（以　　　　替换　）i+kji3．上述三种变换称为线性方程组的初等变换。4、方程组（B4）称为阶梯形方程组。可见：消元法即是对线性方程组（1）实施初等变换化为阶梯形方程组，然后回代求解的方法。同时，我们注意到在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算。若记⎛2−1−112⎞⎜⎟⎜11−214⎟B=(Ab)=⎜4−62−24⎟⎜⎜⎟⎟⎝36−979⎠则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换。二、矩阵的初等变换与矩阵消元法二、矩阵的

8、初等变换与矩阵消元法定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:()1对调两行（对调i,j两行,记作r↔r）；ij()2以数k≠0乘以某一行的所有元素;（第i行乘k,记作r×k）i()3把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第j行的k倍加到第i行上记作r+kr）.ij同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．如果矩阵A经有限次