3.3几何概率教学案

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1、§3.3几何概型(1)[教学目标]一、知识与技能：了解几何概型的概念及基本特点；熟练掌握几何概型中概率的计算公式；会进行简单的几何概率计算．二、过程与方法：通过解决实际问题，感受理解几何概型的概念，进一步掌握等可能性的判定方法三、情感态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学的趣味性、应用性，培养严谨的思维习惯[教学重点]掌握几何概型中概率的计算公式；会进行简单的几何概率计算．[教学难点]模型的建立与区别[教学过程]一．问题情境情境1：取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，剪得两段的长都不

2、小于1m的概率有多大？分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点．虽然类似于古典概型的“等可能性”，但是基本事件有无限多个，不能用古典概型的方法求解．如右图，记“剪得两段的长都不小于1m”为事件A．把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的，于是事件发生的概率P（A）=．　　　　　　　　　情景２．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．金色靶心叫＂黄心＂．奥运会的比赛靶面直

3、径为122cm，靶心直径为12.2cm．运动员在70m外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的，射中黄心的概率为多少？分析：射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点．如图，记“射中黄心”为事件B，由于中靶心随机地落在面积为cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为cm2的黄心内时，事件B发生，于是事件B发生的概率P（B）==0.01．这两个实验中，总体含有的基本事件都是无限个，每个基本事件出现的概率是等可能的，将这种问题称几何概型。二．建构数学7１

4、．几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．２．几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（２）每个基本事件出现的可能性相等．３．几何概型的概率：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事

5、件A发生的概率P(A)=．说明：其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的“测度”分别是长度，面积和体积．例１．取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比．（“测度”为面积）解：记“豆子落入圆内”为事件A，则．答：豆子落入圆内的概率为．说明：区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任

6、何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．练习：在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少？分析：病种子在这1L种子中的分布可以看做是随机的，取得的10mL种子可视作区域d，所有种子可视为区域D．（“测度”为体积）（解：取出10mL麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A，则．答：含有麦锈病种子的概率为．）例2．在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域

7、D．当点M位于中线段AC’内时，AM

8、P(AM