正态分布在成绩分析中的应用

《正态分布在成绩分析中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、正态分布在成绩分析中的应用【标题】正态分布在成绩分析中的应用【作者】胡明月【关键词】正态分布，定义及性质，成绩分析，设计与实现【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学【正文】1.引言?在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似服从正态分布规律，即人们通常所讲的“中间粗两头细”正态分布在成绩分析中的应用【标题】正态分布在成绩分析中的应用【作者】胡明月【关键词】正态分布，定义及性质，成绩分析，设计与实现【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学【正文】1.引言?在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似服从正态分布规律，即人们通常所讲的“中间粗两头细”．正态

2、分布又称高斯分布，它在现实生活中用途极为广泛．正态分布是生活中一种常见的连续分布，它是以均值为中心，左右对称的钟形分布．在各种概率分布中，正态分布有着重要地位．物理学中测量同一物体的测量误差，生物学中同一种生物机体的某一量度（如：身高、体重）都近似地呈正态分布．正态分布在统计理论及应用中居中心地位，在实际生活中有些随机现象需要涉及无穷多个随机变量，这些都要用到正态分布中心极限定理以及danker不变原理的理论发展过程等方面知识．其次，在很多实际问题中都要用到正态分布的知识．在教育实践中，反映出人的能力、智力同样服从正态分布，如考试分数这种随机变量也符合正态分布．由于考

3、试仍是目前检查教学的主要手段，因而考试成绩及其分布也就成为评价教学的重要尺度，本文就正态分布在成绩分析中的应用作初步探讨．2.?正态分布的定义及性质2.1正态分布的定义设连续型随机变量有分布密度函数为常数，（＊）其中?，?是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这种分布叫正态分布，记作?．（＊）的图象被称为正态曲线．在函数（＊）中，当?=0，?=1，正态总体称为标准正态总体，相应的正态曲线称为标准正态曲线．2.2?正态曲线的性质标准正态分布的概率密度曲线如图2-1．图2―1从正态分布密度函数式（＊）可见，正态曲线具有如下性质：①曲线在?轴的上方，与?轴不相交；②曲线关于

4、直线?=?对称；③曲线在?=?时位于最高点；④当??时，曲线上升；当??时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以?轴为渐近线，向它无限靠近；⑤当?一定时，无论?怎样变化，曲线的形状是确定的．对于不同的?，两条曲线可通过左右平移，使之重合的正态曲线称为标准正态曲线；⑥当?一定时，曲线的形状由?确定．?越大，曲线就越“矮胖”，表示总体的分布越分散；?越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．3．正态分布在成绩分析中的应用3.1由考试成绩分析教学效果的一种定量方法考试的基本目的有两个：一是衡量考生掌握基本知识的程度；二是区分考生的不同水平和层次．要达到这两个目的

5、，先决条件是考题出得恰当，考题太偏、太难或太易都不能得到正确的评估．如果考题适当，如何从分数的统计情况提炼出反映教学效果的信息，从中得出进一步改进教学的措施意见，这是教育主管部门以及任课教师都很关注的课题．本文以概率统计为基础，利用数据拟合的方法从考分统计中提炼出几个数字特征，去评估教学效果(假定出题符合标准)，或评价考题标准(假定学生学习情况正常)．这对深化教学改革和教学管理定量化有十分积极的意义．题一份考卷中的题目究竟怎样才能达到考试的目的，我们把这称为出题问题．根据教学大纲的要求及通用的百分制标准，大体可将考题分为四类：第一类是最基本要求的题，占分数的60%，优

6、秀生完成所需时间约占考试时间的40%；第二类是基本要求范围的题，但需一定的灵活性，占分数的15%，优秀生时间的15%；第三类是在教学大纲范围内，但要求有一定技巧的难题，占分数的15%，优秀生时间的20%；第四类是在教学大纲范围边缘或涉及知识面较多的难题，占分数的10%，优秀生时间的25%．对上述分类标准当然还可以进一步研究．态下考生成绩分布规律?我们假定出题基本满足上述要求，并认为考生中的多数能达到教学基本要求．通过考试将考生分出层次，分出优秀者和少数不合格者．由于考试过程是一个受到多因素干扰的随机过程，假定它是平稳的，从统计的意义上看，分布应基本上满足正态分布规律，

7、即?　（１）其中?表示分数，A表示的数学期望，近似地就是平均值，B是方差，是衡量考生能否拉开距离的一个数学指标，?表示考分为?的考生个数，数学上称为概率密度．分数从?到?这个分数段上考生个数的概率可由公式　（２）　计算得到．根据教学的基本要求及上面所定的出题标准，数学期望值A应略高于75分，分布要能拉开档次，不及格率在5%以下，90分以上的优秀生在10%以内．所谓理想状态，有三个基本要求：①考题符合基本要求；②教师教学符合要求；③学生情况正常．在理想状态下，我们取A=A'=77,B=B'=10　　　　（３）　　根据公式(2)计算各分数段所占比例为理想