正态分布的性质及在实际中的应用.docx

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1、正态分布的性质及在实际中应用若连续型随机变量X的概率密度为x−μ21−2f(x)=e2σ,-∞t∞其中2πσμ，σ（σ）为常数，则称X服从参数为μ，σ的正态分布或高斯分布，记为X~N(μσ2)正态分布具有以下性质：①f(x)≥；∞②f(x)dx=1−∞x−μ证明：令=t,得到σx−μ2t2∞1−∞1−2e2σdx=e2dt记−∞2πσ−∞√2π2+μ2t2∞∞t∞−−2=e2dtdμS=e2dt则有S−∞−∞利用−∞极坐标将它化成二次积分得到r222π∞−S=re2drdθ=2π而Sx−μ2∞1−2故有S2π

2、，于是e2σdx=−∞2πσt21∞−e2dt=12π−∞1③当x=μ时取到最大值fx=,这表明对2πσ于同样长度的区间，当区间离μ越远，x落在这个区间的概率就越小。④曲线关于x=μ对称，这表明对于任意h有P{μ−ht=P{μt+}.⑤在x=μ±σ处曲线有拐点，曲线以x轴为渐近线。2(x−μ)1−2证明：fx=-e2σ(x-μ)σ2π2(x−μ)1−222f(x)=e2σ[(x−μ)−σ]=0σ52π于是x=μ±σ2.⑥如果固定σ，改变μ的值，则图形沿x轴平移，而不改变其形状；如果固定μ，改变σ，由于最大值1f(μ)=.可知

3、当σ2πσ越小，图形变的越尖，因而x落在μ附近的概率越大x−μ21x−2⑦x的分布函数为F(x)=e2σdt,2πσ−∞特别，当μ=，σ=1时称随机变量X服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别为φx∅xt21−表示，即有φx=e2,∅x=2πt21x−e2dt,易知∅−x=1-∅x。2π−∞2X−μ⑧若X~N(μσ)，则Z=~N(0,1).σX−μX−μ证明：Z=的分布函数为：P{ZX}=P{σσ2(t−μ)1μ+σx−2X}=P{Xμ+σx}=e2σdt,令σ2π−∞u2t−μ1−=ue得P{ZX=e2du=∅(x),由此

4、知σ2πX−μZ=~N(0,1)σ于是，若X~N（μ，σ2），则它的分布函数FXX−μx−μ可写成FX=PXx=P{=σσx−μ∅(),对于任意区间(x1x2),有σX1−μX−μX2−μX2−μP{x1

5、，但是它的值落在(μ−3σμ+3σ)内几乎是肯定的事，这就是人们所说的“3σ”法则。在此处键入公式。