不可约多项式的判定及应用毕业论文

《不可约多项式的判定及应用毕业论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、不可约多项式的判定及应用毕业论文不可约多项式的判定及应用摘要多项式理论是高等代数的重要组成部分而不可约多项式是多项式中重要的概念本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳较为系统的给出不可约多项式的判定方法对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein判别法Kronecker判别法Perron判别法Browm判别法等研究了各判定方法的等价和包含关系此外我们还给出了不可约多项式的一些应用关键词不可约多项式判定方法应用JudgmentandApplicationofIrreduciblePoly

2、nomialsAbstractThetheoryofpolynomialisanimportantportionofadvancedalgebraIrreduciblepolynomialisanimportantclassofpolynomialsWeinduceinthispaperthejudgmentmethodsofirreduciblepolynomialsoverrationalnumberfieldandgivesomejudgmentmethodsofirreduciblepolynomi

3、alssuchasEisensteinmethodKroneckermethodPerronmethodandBrowmmethodTheequivalenceandinclusionrelationsbetweenjudgmentmethodsarealsoinvestigatedInadditionwegivesomeapplicationsofirreduciblepolynomialsKeywordsIrreduciblepolynomialJudgmentmethodApplication1引言众

4、所周知多项式理论是高等代数的重要组成部分而不可约多项式是多项式中重要的概念但是现行的高等代数课本在多项式部分都讲述了实数域上只有一次和两次的不可约多项式复数域上只有一次的不可约多项式以及有理数域上存在任意次不可约多项式这么一个事实但对有理数域上不可约多项式的判定方法却只介绍了艾森斯坦Eisenstein判别法人们在对多项式进行研究时发现不可约多项式还存在另外的判定方法而通过学者们的研究发现判断有理数域上的不可约多项式的问题最终都转化为了整数域上的不可约多项式的问题对于常用的艾森斯坦判别法并非总是有效的因为并

5、非总存在满足判别法条件的素数所以此方法有着一定的局限性随着人们研究的深入和发展更多的判别法不断的产生本文在现有的不可约多项式的判定方法的基础之上把有理数域上不可约多项式的判定进行分类并且研究了不可约多项式的一些实际应用2不可约多项式的概念及性质21整除的概念设P是一个数域对于中任意两个多项式与其中一定有中的多项式存在使得成立其中或者并且这样的是唯一决定的定义21数域P上的多项式称为能整除如果有数域P上的多项式使等式成立我们用表示整除用表示不能整除定理21对于数域P上的任意两个多项式其中的充分必要条件是除的余

6、式为零证明如果0那么即反过来如果那么0即0注1带余除法中必须不为零下面介绍整除性的几个常用性质1如果那么其中为非零常数2如果那么整除的传递性3那么其中是数域P上任意多项式22本原多项式若是一个整系数多项式的系数互素那么叫做一个本原多项式23有理数域上多项式的等价设有理数域上的一个多项式若的系数不全是整数那么以系数分母的一个公倍数乘就得到一个整系数多项式显然多项式与在有理数域上同时可约或同时不可约24多项式的不可约相关概念在中学我们学过一些具体方法把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积但并没有深入探讨和讨论这

7、个问题并没有严格地论证它们是否真的不可再分所谓不可再分的概念其实不是绝对的而是相对于系数的数域而言有例如下把进行分解可分解为但这是相对于有理数域而言的对于实数域来说还可分进一步为而在复数域上还可以再进一步分解为由此可见必须明确系数域后所谓的不可再分才有确切的涵义在下面的讨论中仍然须选定一个数域P作为系数域数域P上多项环P中多项式的因式分解相关的不可约定义如下定义241数域P上的次数1的多项式称为域P上的不可约多项式如果它不能表示成数域P上两个次数比的次数低的多项式的乘积我们要谈的多项式的不可约性问题的相关事

8、实如下1一次多项式总是不可约多项式2一个多项式是否不可约是依赖于系数域的3不可约多项式与任一多项式之间只能是有两种关系或者或者事实上如果那么或者是1或者是当时就有25有理数域上不可约多项式的定义如果是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两个次数比它低的多项式的乘积则称为有理数域上的不可约多项式3有理数域上不可约多项式的判定方法31Eisenstein判别法在高等代数中Eisenstein判别法是最为