用判别式法求值域常见错误辨析

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1、用判别式法求值域常见错误辨析判别式法是求函数值域的重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。判别式法的理论依据是：任何一个函数的定义域应是非空数集，故将原函数看成关于x的方程应有实数解，从而求出y的值域。判别式法虽然用起来很方便，但如果不加注意，却很容易产生错误，下面就大家容易出错的情形举例加以说明。1忽视对二次方程的二次项系数加以讨论例1求函数y=的值域。错解y=,yx2+yx-6y=x2+x-1,(y-1)x2+(y-1)x-6y+1=0-----------------------------

2、------①因为方程①是关于x的方程，它有实根的充要条件是=(y-1)2-4(y-1)(-6y+1)0,(y-1)(5y-1)0,y1或y,原函数的值域为{y

3、y1或y且yR}.分析事实上，当y-1=0，即y=1时，方程①不再是关于x的方程了，就不能再用判别式了。正确解法是：y=,(y-1)x2+(y-1)x-6y+1=0--------①当y-1=0，即y=1时，方程①为-5=0，恒不成立；当y-10，即y1时，=(y-1)2-4(y-1)(-6y+1)0,(y-1)(5y-1)0,y1或y且y1综上，得原函数的值域为{y

4、y>1或y且yR}.

5、2将原函数转化为方程时为非同解变形例2求函数y=x-的值域。错解y=x-,y-x=----------------------①(y-x)2=1-x,x2-(2y-1)x+y2-1=0---------------②由=(2y-1)2-4(y2-1)0,解得y，故原函数的值域为{y

6、y且yR}.分析事实上，当y=时，代入②得x=，而解法中①式到②式不是同解变形，把x=代入①式得到y=，故y=只适合于方程x-y=-，不适合原方程y-x=-。简言之，由②解得的y，仅对方程②有实根而言是正确的，但不是所给原函数的值域。本题的正确解法是：令t=，则t0，得

7、1-x=t2，x=1-t2,则y=1-t-t2=-(t+)2+。又t0，t1,故原函数的值域为{y

8、y1且yR}.3分子分母有公因式，不能转化为二次方程，则不能用判别式法例1求函数y=的值域。错解y=(x1),-----------------------①yx2-y=x2+x-2,(y-1)x2-x-y+2=0---------②当y-1=0，即y=1时，由②得x=1（舍去），y1；当y-10，即y1时，=1-4(y-1)(-y+2)0得(2y-3)20,yR。综上可得，原函数的值域为{y

9、y1且yR}。分析事实上，当y=，即=时，解得x=1，而

10、当x=1时原函数没有意义，故y。产生错误的原因在于，当x=1时，(y-1)x2-x-y+2的值等于零，所以x=1是方程②的根，但不属于原函数的定义域，所以方程②与方程①不同解，故函数y=不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不通。本题正确的解法是：原函数可化为y==(x1),即y=1+(x1),0,原函数的值域为且4用换元法转化为分式型二次函数后忽略新变量的限制条件例2求函数的值域。错解令，则或显然，原函数的值域为且。分析事实上，当时，由方程，而显然不成立。错因在于方程中，故对方程应该是在上要有实根，而不是在整个实数集上有实根，此题可用函数的单调性

11、求值域：易证函数在区间上是单递增的，故当时，函数取到最小值，故所求函数的值域为且。本题也可以按以下的方法来求解：令，则又解得。故所求函数的值域为且。例1求函数的值域。错解由万能公式得令原函数的值域为且。分析在这种解法中利用万能公式，增加了限制条件，而原函数中当且仅当时函数值等于，所以漏解。本题的正确结果为：值域为且。总之，教师在教各种方法时，不仅要使学生会用这种方法，同时又要让学生知道这种方法的适用范围，以及应该注意哪些常见错误、有哪些局限性，这样就会避免学生盲目套用，也会使学生在出现错误时加以纠正，只有这样，学生才算是真正掌握这种方法了。