如何用判别式法求函数值域

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1、如何用判别式法求函数值域用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。下面我谈谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据例1、求函数的值域象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。解：由得：（y－1）x2+(1－y)x+y=0①上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y的范围就是原函数的值域？我们可以设计以下问题让学生回答：1、当x=1时

2、，y=?(0)反过来当y=0时，x=?（1）当x=2时，y=?()当y=时，x=?（2）以上y的取值，对应x的值都可以取到，为什么？（因为将y=0和y=代入方程①，方程的△≥0）2、当y=－1时，x=?当y=2时，x=?以上两个y的值x都求不到，为什么求不到？（因为将y的值代入方程①式中△<0,所以无解）3、当y在什么范围内，可以求出对应的x值？4、函数的值域怎样求？若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。二、判别式法求值域的适用范围前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。是不是所有这种类函数都可以

3、用判别式法求值域？例1、求的值域从表面上看，此题可以用判别式法求值域。由原函数得：（y－3）x2+2x+(1－y)=0△=4－4（y－3）(1－y)≥0即（y－2）2≥0∴y∈R但事实上，当y=3时，可解得x=1,而x=1时，原函数没意义。问题出在哪里呢？我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x－1）,因此原函数可以化简为，用反函数法可求得，又x≠1代入可得y≠2，故可求得原函数的值域为。因此，当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。特别值得注

4、意的是约分后的函数的定义域，如上例中化简后的函数x≠1，故y≠2。例2、求函数的值域此函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，且分子分母无公因式，可不可以用判别式法来求值域呢？由得：3yx2+(2y－1)x+y+5=01）当3y=0，即y=0时，可解得x=5，故y可以取到02）当3y≠0时，令△=(2y－1)2－4×3y(y+5)≥0解得：由1）、2）可得原函数的值域为上面求得的值域对不对呢？显然y=在所求得的值域范围内，但当y=时，可求得x=2，故了限定了自变量x的取值范围的函数不能用判别式法求值域。此题可用导数法求得原函数在区间[3，5]内

5、单调递增，故函数的定义域为。综上所述，函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域：1）分子分母的最高次为二次的分式函数；2）分子分母无公约数；3）未限定自变量的取值范围。最后需要说明的是用判别式求值域时，第一步将函数变为整式的形式，第二步一定要看变形后的二次项（x2项）系数是否含有y，若含有y，则要分二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论。