用判别式法求函数值域的问题分析

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1、用判别式法求函数值域的问题分析利用一元二次方程根的判别式求某些函数的值域，由于解题过程中常用到变形，往往导致错误．因此，许多师生认为该种方法不可靠而回避它，或者只有当函数定义域为R时才使用该方法．那么，到底是什么原因导致错误？解题过程中应注意什么？下面就常见的两类问题作一分析．第一类问题：如果函数隐含于方程中，因方程有实数根，通过求出的范围（设为集合M），若存在，使，为什么有时要从M中除去，而有时不要？例1：已知函数满足方程，求函数的值域．解：原方程可变为，∵，由解得．但当时，方程（1）不成立，说明不是函数的值，必须除去．因此函数的值域应为

2、．例2：已知函数满足方程，求函数的值域．解：原方程可变为，∵，由解得．当时，说明是函数的值，因此函数的值域为．结论一：若函数隐含于方程中，此时可把方程(2)看作的二次方程．因方程（2）有实根，所以其判别式，解不等式（3）所得到的的范围（用集合M表示）有可能是函数的值域．但M是否为函数的值域还应分以下两种情况讨论：1．若对于任意的，有，由一元二次方程根的判别式可知，方程（2）有实根与不等式（3）是互为充要的条件，所以的值域为M．2．若存在，使，则方程（2）为一次方程，这时又可分为两种情况讨论：①若，方程有解，所以函数的值域为M．②若且时，方程

3、为恒等式，显然有解，所以函数的值域为M．当且时，方程无解，这说明不是函数的值，因此函数的值域应是M除去之后得到的集合．第二类问题：当函数以分式形式给出时，常见问题的特征及解决问题的方法．问题一：若函数以分式形式给出，是否只有当定义域为R时才可用判别式法求值域？例3：求函数的值域．解：两边乘以得，当时分母虽然为零，但分子，显然不是方程（4）的解，因此与方程（4）是等价的，以下解法仿照例2．例4：求函数的值域．解：两边乘以得，当时分母虽然为零，但分子，显然不是方程（5）的解，因此与方程（5）是等价的．∵，由解得或．∴函数的值域为．分析：类似于例

4、3、例4的问题，虽然函数的定义域不为R，但去分母前后两个方程是等价的，故仍可用判别式法求函数的值域．问题二：若函数以分式形式给出，当分子、分母有公因式时，应注意什么？例5：求函数的值域．解：，∵由函数的定义域知，∴由函数（6）易知　，因为，所以把代入（6）所求得的的值必须除去．所以函数的值域应该为．例6：解：，由（7）易知，但因为，所以把代入（7）所求得的的值必须除去．所以函数的值域应该为．分析：类似于例5、例6的问题，函数以分式形式给出，分子分母有公因式。由于用判别式法相对比较繁琐，一般可先约去公因式，再求化简后函数的值域。因变形前后函数

5、的定义域不同，从而导致了函数值域的不同，所以在求值域时一定要考虑定义域．结论二：若函数是以分式形式给出的，设，其中，，把（8）变形为，即，整理得，可分以下四种情况讨论：1．若对于任意的实数，恒有时，则方程（8）与方程（9）等价，可归结为第一类问题讨论．2．若存在实数，使得，而，显然不可能是方程（9）的解，所以方程（8）与方程（9）是等价的，因此也可归结为第一类问题讨论．3．若存在实数，满足方程（9），且，由（9）可知必有，则是和的公共解，因此有，，由（8）可得，设集合N为函数的值域．由于时函数（9）无意义，因此函数的值域应在函数的值域N中除

6、去．4．若存在两个实数，满足方程（9），且，由（9）可知必有，也就是说和有两个公共解和，所以有，，其中和为不等于零的常数．约去（8）中分子分母的公因式得，则函数的值域为．例如函数的值域为．