xr时判别式法求函数值域的初探

《xr时判别式法求函数值域的初探》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、xR时判别式法求函数值域的初探安远一中黄小平在高中数学中，求函数值域问题可以说是一个重点问题又是一个难点问题，因为求函数值域问题形式多样、方法灵活、运算繁琐,历来是学生较为害怕的一个问题。其中常见的求函数值域的方法有：直接法，配方法，反函数法，判别式法，换元法，不等式法，单调性法，求导法，数形结合法等。其中判别式法是把函数转换成关于x的二次方程F(x,y)=0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域。形如y=（）的函数的值域常用此法求解。但其中有一个特别注意事项就是函数的定义域应为R。假若函数的定义域不是全体实数时，又如何用判别式

2、法来求函数的值域呢？本文将重点来谈一谈这个问题。下面我们通过具体的例题来探讨xR时判别式法求函数值域。例1：求函数y=的值域，其中R。解法一：（不等式法）y==①当＞0时，y==2②当＜0时，y==﹣2∴函数y=的值域是y(﹣,﹣2][2,﹢)。(如图)解法二：（判别式法）由y=y·=－y·＋1=0－y·＋1=0有实根。∴0即y－40y﹣2或y2故函数y=的值域是y(﹣,﹣2][2,﹢)。然而，如果将例1中的定义域改为∈[﹣2,0)∪[2,﹢∞)，那么又如何来求它的值域呢？接着我们来深入探讨一下这个问题。例2：求函数y=的值域，其中∈[﹣

3、2,0)∪[2,﹢∞)。解法一：（单调性法）∵函数y=在[﹣2，﹣1]∪[1，﹢∞﹚是增函数，在[﹣1，0﹚∪﹙0，1]是减函数(其图像是一个对勾)。∴函数y=+其中∈[﹣2,0)∪[2,﹢∞)的值域是y∈﹙﹣∞,﹣2]∪[,﹢∞﹚。（如图）如果现在要求用判别式法来求其值域我们又该怎么办呢？我们知道利用判别式法来求函数值域的问题一般要求其定义域x∈R，而现在的∈[﹣2,0)∪[2,﹢∞)，那我们如何解决这个问题呢？显然仅仅利用Δ≥０来求解所得的结果将与x∈R时的值域ｙ∈﹙﹣∞，﹣２]∪[2,﹢∞﹚是一样的，这结果肯定不对。其实要求函数y=

4、+﹙∈[﹣2,0)∪[2,﹢∞)﹚的值域，它仅有二次方程中Δ≥０是不够的，因为Δ≥０仅仅能保证在总个实数范围内有实根，并不能保证在[﹣2,0)∪[2,﹢∞)范围内有实根。其本质是要保证在[﹣2,0)∪[2,﹢∞)范围内至少有一个实根，而非在R内有实根。所以用判别式法求其值域的过程该如下。解法二：（判别式法）由y=+又∵∈[﹣2,0)∪[2,﹢∞)∴在[﹣2,0)∪[2,﹢∞)范围内至少有一实根⒈Δ≥０即或．．．．．．⑴⒉两根，至少有一实根在[﹣2,0)∪[2,﹢∞)范围内现在我们来详细讨论第2个问题。为了解题的方便不妨记f(x)=因为“两

5、根，至少有一实根在[﹣2,0)∪[2,﹢∞)范围内”中涉到“至少”一词，我们可以从其反面来讨论这个问题。其反面是f(x)=＝０在[﹣２，０﹚∪[２﹢∞﹚无实根，即，均在﹙﹣∞，﹣２﹚∪﹙０，２﹚上①，在﹙﹣∞，﹣２﹚上或②，在﹙0，２﹚上或③∈﹙﹣∞，﹣2﹚，∈﹙0,2﹚≤—2y≤-4由①y∈Φf(-2)=4+2y+1≥0y≥-2.50≤≤20≤y≤4由②f(0)=1≥0y∈R0≤y≤2.5f(2)=4-2y+1≥0y≤2.5f(0)≤0由③f(2)≥0y∈Φf(-2)≤0∴由，均在﹙﹣∞，﹣２﹚∪﹙０，２﹚上0≤y≤2.5由此可得两根，

6、至少有一实根在[﹣2,0)∪[2,﹢∞)范围内y＜0或y≥2.5．．．．．．（２）综上（１）（２）所述ｙ≤－２或ｙ≥２．５。由此可知用判别式法所求结果与用单调性法所求结果完全一致。从以上两例不难看出，要用判别式法求形如y=（）其中的函数的值域的解题思路如下：﹙1﹚将化为二次方程的形式。﹙2﹚保证二次方程在﹙a,b﹚至少有一实根。即：①0②∈﹙a,b﹚或∈﹙a,b﹚这个问题尽管难度太大，而且很多情况下老师和学生都不太深究这个问题，往往会将②∈﹙a,b﹚或∈﹙a,b﹚这个条件忽略，导致用判别式法所求结果不对。但是在实际教学中善于引导学生深入地

7、思考这些问题对于学生思维的灵活性、严密性、逻辑性的培养还是有帮助的。