函数自变量取值范围的确定方法

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1、函数自变量取值范围的确定策略金山初级中学庄士忠201508函数是初中数学一个十分重要的内容，为保证函数式有意义或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型：（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。一、函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分

2、式形式：分母≠0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数：底数≠0。典型例题：例1：函数的自变量x的取值范围在数轴上可表示为【】A．B．C．D．【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故在数轴上表示为：。故选D。例2：函数y=中自变量x取值范围是【】A．x=2B．x≠2C．x＞2D．x＜2【分析】求函数自变量的取值范

3、围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选B。例3：函数中自变量x的取值范围是【】A．x＞﹣2B．x≥2C．x≠﹣2D．x≥﹣2【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须-14-。故选A。例4：函数的图像在【】象限A.第一B.第一、三C.第二D.第二、四【分析】∵函数的定义域为，∴，∴根据面直角坐标系中各象限点的特征知图像在第一象限，故选A。二、实际问题中函数自变量的取值范围：在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素

4、：（1）自变量自身表示的意义，如时间、路程、用油量等不能为负数；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。典型例题：例1：某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域。（2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（

5、1）中所求得出即可。【答案】解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：。∴y关于x的函数解析式为y=x+11（10≤x≤50）。（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，x（x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）。∴该产品的生产数量为40吨。例2：某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和所需工时如下表：-14-服装名称西服休闲服衬衣工时/件收入（百元）/件321设

6、每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件。（1）请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y的代数式表示衬衣的件数z。（2）求y与x之间的函数关系式。（3）每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？【分析】（1）题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。（2）由（1）整理得：y=360－3x。（3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得，解得30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y，从工时数方面：由x+y+z=120整理得：z=480－2

7、x－y。（2）由（1）得360－x－y=480－2x－y，整理得：y=360－3x。（3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720由题意得，解得30≤x≤120。由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。例3：某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，