函数自变量取值范围的确定方法

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函数自变量取值范围的确定策略金山初级中学庄士忠201508函数是初中数学一个十分重要的内容，为保证函数式有意义或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型：（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。一、函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数：底数≠0。典型例题：例1：函数的自变量x的取值范围在数轴上可表示为【】A．B．C．D．【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故在数轴上表示为：。故选D。例2：函数y=中自变量x取值范围是【】A．x=2B．x≠2C．x＞2D．x＜2【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选B。例3：函数中自变量x的取值范围是【】A．x＞﹣2B．x≥2C．x≠﹣2D．x≥﹣2【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须-14- 。故选A。例4：函数的图像在【】象限A.第一B.第一、三C.第二D.第二、四【分析】∵函数的定义域为，∴，∴根据面直角坐标系中各象限点的特征知图像在第一象限，故选A。二、实际问题中函数自变量的取值范围：在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：（1）自变量自身表示的意义，如时间、路程、用油量等不能为负数；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。典型例题：例1：某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域。（2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可。【答案】解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：。∴y关于x的函数解析式为y=x+11（10≤x≤50）。（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，x（x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）。∴该产品的生产数量为40吨。例2：某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和所需工时如下表：-14- 服装名称西服休闲服衬衣工时/件收入（百元）/件321设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件。（1）请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y的代数式表示衬衣的件数z。（2）求y与x之间的函数关系式。（3）每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？【分析】（1）题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。（2）由（1）整理得：y=360－3x。（3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得，解得30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y，从工时数方面：由x+y+z=120整理得：z=480－2x－y。（2）由（1）得360－x－y=480－2x－y，整理得：y=360－3x。（3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720由题意得，解得30≤x≤120。由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。例3：某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元?(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.-14- 为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000－10（x－10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式。（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。∴。（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元。例4：某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式。（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当x=5时得出y的最大值。【答案】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60－50＋x）元，总销量为：（200－10x）件，商品利润为：y=（60－50＋x）（200－10x）=－10x2＋100x＋2000。∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0＜x≤12。（2）∵y=－10x2＋100x＋2000=－10（x－5）2+2250，-14- ∴当x=5时，最大月利润y=2250。答：每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元。例5：市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．（1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？【分析】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可。（2）根据题意列出后求解即可。【答案】解：（1）由题意知：xy=36，∴（）。（2）根据题意得：，解得：x=0.3。经检验：x=0.3是原方程的根。1.5x=0.45。答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤。例6、小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元．（1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；（2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证月收入不低于2000元？【分析】（1）因为小丁每天从某市报社以每份0.5元买出报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，所以如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元，则y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）即y=0.8x﹣60，其中0≤x≤200且x为整数。（2）因为每月以30天计，根据题意可得30（0.8x﹣60）≥2000，解之求解即可。【答案】解：（1）y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）=0.8x﹣60（0≤x≤200）。（2）根据题意得：30（0.8x﹣60）≥2000，解得x≥。∴小丁每天至少要买159份报纸才能保证每月收入不低于2000元。-14- 三、几何问题中函数自变量的取值范围：几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围，如在三角形中“两边之和大于第三边”。典型例题：例1：将一根长为16厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为和.（1）求与的关系式，并写出的取值范围；（2）将两圆的面积和S表示成的函数关系式，求S的最小值．【分析】（1）由圆的周长公式表示出半径分别为r1和r2的圆的周长，再根据这两个圆周长之和等于16π厘米列出关系式即可。（2）先由（1）可得r2=8﹣r1，再根据圆的面积公式即可得到两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，然后根据函数的性质即可求出S的最小值。【答案】解：（1）由题意，有2πr1+2πr2=16π，则r1+r2=8。∵r1＞0，r2＞0，∴0＜r1＜8。∴r1与r2的关系式为r1+r2=8，r1的取值范围是0＜r1＜8厘米。（2）∵r1+r2=8，∴r2=8﹣r1。∵，∴当r1=4厘米时，S有最小值32π平方厘米。例2：如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？-14- 【分析】（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V。（2）利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可。【答案】解：（1）根据题意，正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，∴x+2x+x=24，解得：x=6。则a=6，∴V=a3=（6）3=432（cm3）；（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=x，，∴S=4ah+a2=。∵0＜x＜12，∴当x=8时，S取得最大值384cm2。例3：（2012上海市）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．-14- 【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。又∵OB=2，。（2）存在，DE是不变的。如图，连接AB，则。∵D和E是中点，∴DE=。（3）∵BD=x，∴。∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。∴∠2+∠3=45°。过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=。由△BOD∽△EDF，得，即，解得EF=x。∴OE=。∴。例4：如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．-14- （1）①点B的坐标是；②∠CAO=度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为；（直接写出答案）（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）。②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：∵，∴∠CAO=30°。③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。∴。∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）。（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，∴∠MNO=60°。∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。∴点P与D重合。∴此时m=0。情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600又，-14- ∴，解得：m=3﹣。情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，∴MG=。∴。∴KG=3﹣0.5=2.5，AG=AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣或m=2。（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。【答案】解：（1）①（6，2）。②30。③（3，3）。（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。（3）当0≤x≤3时，如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，可得，∴EF=（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：当3＜x≤5时，如图2，当5＜x≤9时，如图3，当x＞9时，如图4，。综上所述，S与x的函数关系式为：-14- 。例5：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。∴AB=9，OC=9。-14- （2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：。∴s=m2（0＜m＜9）。（3）∵S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2，∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。∴△CDE的最大面积为，此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。又，过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：。∴。∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积E=π•EF2=。例6、如图，在OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．【答案】解：（1）C(2，2)，OB=4cm。（2）①当0