固体物理课件3(1)

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1、晶格振动部分习题参考解答9.设有一双子链最近邻原子间的力常数为b和10b，两种原子质量相等，且最近邻距离为a/2，求在q=0,q=处的w(q).并定性画出色散曲线。mbm10bmbm____________________________________________________解：已知(1)(2)由题意b2＝10b1＝10b代入（1）式得==当q=0时当q=时把b2=10b1=10b代入（2）式得当q=0时10.设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有(q)=w0－Aq2（A>0），求证光学波频率分布函数(格波密度函数)为：g(w)=w0g(w)=0>w0

2、证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在d区间格波数为g()d=在长波极限下等频率面为球面则g()d=当时因为q2＝dq=－所以g()==－由模式密度的物理意义，取其绝对值而当>时因为＝－Aq2所以Aq2=－又因为A>0q2>0(因为q本身为实数)所以上式右边必满足>即不存在>的格波则则g()=0又因为三维晶体中共要有3（S－1）支光学格波所以光学波频率分布函数为：gg()=0>11．求一维单原子链的格波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。解：(1)设一维单原子链长L＝Na，a为原子间距，N为原子数，在

3、=色散关系为(1)=(1-cosqa)(2)其中wm=由于对应于±q,w取相同的值，（色散关系的对称性〕，则dw区间的格波数为g(w)dw＝2(3)由色散关系（2）可得：2wdw=sinqadq=代入(3)可得：g(w)=(4)(2)在德拜模型下，色散关系为线性w＝upq代入(3)式得；g(w)=(5)则零点能为：E零＝=(6)又因为得：(7)代入（6）式得：E零=12试用平均声子数n＝（证明：对单式格子，波长足够长的格波平均能量为KT；当T<

4、<1的格波把泰勒展开，只取到一次项－1（1＋）－1＝，平均声子数n＝（，所以而属于该格波的声子能量为当T<

5、2213初基元胞内自由度数66633格波支数66633声学波支数33331光学波支数3330214.证明在极低温度下，一维单式晶格的热容正比于T.证：在极低温度下，可用德拜模型，q点密度为dw区间格波数为g(w)dw＝2所以格波密度函数g(w)＝只有w的格波才能被激发，已激发的格波数为；A＝由第12题已证，在极低温度下，一维单式格子主要是长声波激发对满足<<1的格波能量为KBT。则晶格热容为即热容正比于T。15.NaCl和KCl具有相同的晶体结构。其德拜温度分别为320K和230K。KCl在5K时的定容热容量为3.8×10-2J.mol-1.K-1，试计算NaCl在5

6、K和KCl在2K时的定容热容量。解：设NaCl和KCl晶体所包含的初基元胞数相等，均为N，T<<，可用德拜模型（德拜温度分别为NaCl＝320K，KCl＝230K）利用CV=qNk(>>1.积分上限近似可取为∞、则有对KCl：T＝5K时Cv＝3.8X10-2当T＝2K时(J.mol-1.K-1)对NaCl：T=5K时＝1.41X10-2(J.mol-1.K-1)