2015步步高理科数学选修4-2

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1、选修4－2　矩阵与变换1．乘法规则(1)行矩阵[a11　a12]与列矩阵的乘法规则：[a11　a12]＝______________________________.(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：＝________________________.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：＝(4)两个二阶矩阵的乘法满足________律，但不满足________律和________律．即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的________

2、与后一个矩阵的________相等时才能进行乘法运算．2．常见的平面变换(1)恒等变换：如；(2)伸压变换：如；(3)反射变换：如；(4)旋转变换：如，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如，；(6)切变变换：如(k∈R，且k≠0)．3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是____________，B称为A的____________；(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.4．特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使

3、Aα＝λα，那么λ称为A的一个____________，而α称为A的属于特征值λ的一个________________．5．特征多项式设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，把行列式f(λ)＝＝________________，称为A的特征多项式．1．在切变变换M＝作用下，直线y＝2x－1变为________．2．将椭圆＋＝1绕原点顺时针旋转45°后得到新的曲线方程为________________．3．在对应的线性变换作用下，圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1变为________________．4．计算：＝________.5．矩阵

4、的逆矩阵是________．题型一　求变换矩阵例1　已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A′(0,3)，B′(1，－1)，试求变换S对应的矩阵T.　　思维升华　知道变换前后的坐标，求变换对应的矩阵，通常用待定系数法求解．　二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．　　　题型二　求逆矩阵例2　求矩阵A＝的逆矩阵．　　　　　思维升华　求逆矩阵的方法：(1)待定系数法设A是一个二

5、阶可逆矩阵，AB＝BA＝E2；(2)公式法

6、A

7、＝＝ad－bc≠0，有A－1＝.　(2013·江苏)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.　　　　　题型三　特征值与特征向量例3　已知矩阵M＝，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．　　　　　思维升华　已知A＝，求特征值和特征向量，其步骤：(1)令f(λ)＝＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；(2)列方程组(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量．　已知二阶矩阵A有特征值λ1＝1及对应的一个特征向量e1＝和特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e

8、2＝，试求矩阵A.　　　　　用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程典例：(10分)二阶矩阵M对应的变换T将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．思维启迪　(1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解．(2)知道直线l在变换T作用下的直线m，求原直线，可用坐标转移法．规范解答解　(1)设M＝，则＝，＝，[2分]所以，且，解得，所以M＝.[5分](2)因为＝＝且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y

9、)－(3x＋4y)＝4，即x＋y＋2＝0，∴直线l的方程是x＋y＋2＝0.[10分]温馨提醒　(1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法．(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误.方法与技巧1．二阶矩阵与平面列向量乘法：＝，这是所有变换的基础．2．证明两个矩阵互为逆矩阵时，切记从两个方向进行，即AB＝E2＝BA.3．二元一次方程组相应的矩阵方程为AX＝B，其中A＝为系数矩阵，X为未知数向量，B＝为常数向量．4．

10、若某一向量在矩阵变换作用下的象与原象共线，则称这个向量是属于该变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该特征向量的特征值．失误与防范1．矩阵的乘法不满足交换律，即在矩阵乘法的运算中，一般不能随意将AB写成BA.2．矩阵乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)．3．矩阵的乘法不满足消去律，即对