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1、第11课时 垂直关系的性质1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理证明一些空间位置关系的简单问题.装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗,测量门窗是否安装得竖直,这是应用了什么原理?装修工人判断的依据是什么?问题1:(1)上述情境中,装修工人应用了直线与平面垂直的性质定理,因为铅垂线受重力影响始终是与地面 垂直 的,当装修工人把铅垂线与门的边线靠近时,观察上下铅垂线与门线间的间隔是否一致,
2、当线上间隔不同时,说明门线与铅垂线 不平行 ,也就说明门安装得 不竖直 . (2)直线与平面垂直的性质定理及表示:垂直于同一个平面的两条直线平行.符号表示: a⊥α,b⊥α⇒a∥b . 问题2:叙述平面与平面垂直的性质定理,并根据图形用符号语言写出这个定理.性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.符号表示: α⊥β,α∩β=l,AB⊂β,且AB⊥l于B⇒AB⊥α . 问题3:空间中垂直关系是如何转化的?由线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理可知,线线垂直、线面
3、垂直及面面垂直的转化关系可用下图表示:由上图可以看出,几种垂直关系的转化就是线面和面面垂直的判定定理和性质定理的反复交替运用的结果.在线线垂直和线面垂直的转化中,平面在其中起到了至关重要的作用,应考虑线和线所在平面的特征,以找出需要证明的转化.如证线线垂直,可先证线面垂直,进而由性质定理得到线线垂直.因此, 线面垂直 关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽. 问题4:关于线面垂直、面面垂直,还有其他重要结论吗?直线和平面垂直的两个重要结论:①过一点有且 只有一个 平面和已知直线垂直. ②过一点有且 只有一条
4、 直线和已知平面垂直. 平面和平面垂直的两个重要结论:①若两个平面垂直,则过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在 第一个 平面内. ②两个相交平面同时垂直第三个平面,则它们的交线 垂直 于第三个平面. 1.已知a、b为异面直线,b与c垂直,则( ).A.a⊥c B.b∥cC.b与c相交D.不确定2.下列说法中正确的个数为( ).①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直;②过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直;③一条直线和一个平面不垂直,那么这条直线和平面内的
5、所有直线都不垂直;④垂直于同一平面的两条直线平行.A.1 B.2 C.3 D.43.已知l,m是直线,α,β,γ是平面,给出下列说法:①若α⊥β,且β⊥γ,则α∥γ;②若α∩β=l,且l⊥γ,则α⊥γ且β⊥γ;③若l⊥α,α⊥β,则l∥β.其中正确的是 . 4.如图,四边形ABCD是平行四边形,直线SC⊥平面ABCD,E是SA的中点,求证:平面EDB⊥平面ABCD.线面垂直的性质定理的应用如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF与异面直线AC、A1D都垂直相交,求证:E
6、F∥BD1.线面垂直的判定与性质的综合应用如图,已知α∩β=AB,EC⊥平面α,C为垂足,ED⊥平面β,D为垂足.求证:CD⊥AB.面面垂直的性质定理的应用如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD=4,M是AE的中点.求证:平面BDM⊥平面ECA.已知a、b为异面直线,AB与a、b都垂直相交,若a⊥α,b⊥β,且α∩β=c.求证:AB∥c.已知底面为正方形的四棱锥P—ABCD的侧棱PA⊥底面ABCD,过点A在侧面PAB内作AE⊥PB于E,过E作EF⊥PC于F.那么
7、图中AF与PC的位置关系如何?如图,在△ABC中,∠BAC=60°,线段AD⊥平面ABC,E为CD上一点,且平面ABE⊥平面DBC.求证:点A在平面DBC内的射影不可能是△BCD的垂心.1.设a,b是两条异面直线,下列说法中正确的是( ).A.有一平面与a,b都垂直B.有且仅有一条直线与a,b都垂直C.过直线a有且仅有一平面与b平行D.过空间中任一点必可以作一直线与a,b都相交2.已知直线l⊥平面α:①若直线m⊥l,则m∥α;②若m⊥α,则m∥l;③若m∥α,则m⊥l;④若m∥l,则m⊥α,上述判断正
8、确的是( ).A.①②③ B.②③④C.①③④D.②④3.把Rt△ABC斜边上的高CD折成直二面角A-CD-B后,互相垂直的面有 对. 4.三棱锥P—ABC中,PB=PC,AB=AC,点D为BC中点,AH⊥PD于点H,连接BH,求证:平面ABH⊥平面PBC.(2013年·天津卷改编)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.证
