第一章-矢量和张量

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1、矢量与张量为什么学习张量1.物理量：标量矢量张量2.客观性：客观规律与坐标系（观察者）无关第一章：矢量矢量：1.方向性2.合成结果与顺序无关不符合这两点要求的不是矢量。转动具有大小和方向但由于不满足交换律（第2要素），因而不是矢量。基本运算：1.点积a与在上的投影之积。分配律：b+cacb证明：的投影等于的投影与的投影之和推论：①②③2.叉积有方向的平行四边形面积263混合积六面体体积u改变六面体底、高顺序可证：vw推论：①叉积分配律：证明：上式对任何矢量都成立，所以②③④⑤26线性相关：一组矢量中至少有一个矢量可以用其余的矢量线性组合表示

2、：线性无关：等效于三维空间中三个线性无关的矢量,如果其线性组合则，说明系数矩阵满秩。对任何非零矢量一定可以求得非零的系数，说明矢量为矢量的线性组合。即：三维空间中，任何一个矢量都可以表示为三个线性无关矢量的线性组合。3.证明：为组成的面内垂直于的单位向量，它与垂直；为组成的面内垂直于的单位向量；它与垂直；因此：26令则从而斜角直线坐标系1.力的分解如果则如果则具有重要意义:如果为相互垂直的单位向量,则在上的分量:但在一般情况下,2.斜角直线坐标系：不要求基底矢量单位正交,只要求基底矢量在空间中为常矢量26矢径X1X2X3协变基矢量（自然基矢

3、量）逆变基矢量逆变基矢量组是线性无关的：如果则有：两种坐标基矢量的作用矢量其中协变分量逆变分量①上下指标的不同意义：协变逆变②哑指标及其求和约定协变指标（下标），逆变指标（上标），哑指标（上下指标相同）（哑指标求和约定）举例：矩阵乘法的分量表示：26①自由指标（表达式中各项出现且只出现一次，同为上或为下指标）取值范围内全部成立可同时换为其它字母而不影响意义（说明逆变基矢量定义表达式的指标记法）逆变基矢量的求解1.根据定义123其中1.根据由于因此已知协变基底，可求出以为元素的矩阵，其逆矩阵为，由可求得逆变基。（可用于求解高于3维的坐标系的逆

4、变基矢量）26和的作用①②升降指标xθryz（单位直角坐标系下）曲线坐标系1.曲线坐标：确定空间中一点所用的参数①矢径其中为笛卡尔坐标系基矢量（单位正交）xyz为直角坐标,称为曲线指标作用：从空间点到矢量的变换②典型的曲线坐标系柱坐标系：26球坐标系：③曲线坐标的必要条件:来源：给定必须唯一地求出（点到曲线坐标的一一对应）①坐标线(只连续改变一个曲线坐标所对应的点形成的轨迹，通常是一条曲线)r坐标线θ坐标线r0θ0②协变基矢量：坐标线沿增加方向的切矢量）定义：r坐标线θ坐标线r0θ0极坐标系下：26所以可见：曲线坐标系协变基矢量与位置有关（

5、是曲线坐标的函数），模也不一定是1。在曲线坐标系中但（曲线坐标的局部性）①逆变基矢量由于：所以2.坐标转换两个（新旧）坐标系的基矢量以及之间的转换关系可表示为：26则称为协变转换系数（新坐标系指标是协变指标）；称为逆变转换系数（新坐标系指标是逆变指标）；性质：（两种转换系数组成的矩阵互逆）推论：转换系数和曲线坐标间的关系由于对比可知对比可知1.矢量分量的转换不同坐标系下分量转换：协变与逆变指标的转换分量等式满足指标规则：哑指标必须是一对上下指标，自由指标必须在同一水平线上26张量的基本概念1.分量定义：外法线为的截面上的面力：当坐标系变换时

6、然而所以此式要求对任意的截面都成立，因而特点：每个指标都按照矢量分量变化规律变化。这样的一组相互之间有联系的量称作张量：不同坐标系下分量变化：参照指标顺序不可更换，同一次序只能有一个指标，用.标识空位置）协变逆变分量间的转换：参照可用任何一种分量的坐标变换关系判断是否为张量26指标个数称为张量的阶：矢量为一阶张量；为二阶张量；为四阶张量只有一个分量，并在任何坐标系下皆为常量的量为零阶张量（标量）度量张量：名称来源：1.整体表示对于矢量，由可自然导出：（分量转换）由可自然导出：（指标升降）张量也有类似的整体表示并矢：（为矢量）并矢的运算法则与

7、矩阵相乘完全相同：当k为任意实数时：矢量之间的并矢运算满足：分配律:结合律:26不满足交换律：①并矢是张量②并矢与矢量的运算①并矢与并矢之间的点积和叉积普遍规律：相邻矢量做相应的点积或叉积④并矢与并矢之间的加减运算加减运算的前提条件：并矢的阶数（并矢中矢量个数）相等张量的基底是基矢量的并矢：张量的整体表示：性质：张量是基矢量并矢（阶数与张量同阶）的线性组合，组合系数为张量的分量规则：①并矢的顺序要与指标顺序相同②基矢量指标与分量指标要构成哑指标③整体表示自然满足张量定义26①指标升降规律与矢量分量的指标升降规律相同同理：指标升降不可改变指标

8、顺序（同一竖直线上）②度量张量的性质：a)整体表示：b)可升降张量的指标（见④）c)度量张量与大于0阶的张量做左右点积运算都不改变张量惯性矩张量：rv为刚体中一点相对于刚体上固定