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1、实用标准文案矢量和张量vectorsandtensors中山大学理工学院黄迺本教授(2005级,2007年3月)如果不理解它的语言,没有人能够读懂宇宙这本书,它的语言就是数学.——Galileo经典电动力学的研究对象——电磁相互作用的经典场论——狭义相对论——电动力学的相对论协变性主要数学工具微积分、线性代数、矢量与张量分析、数学物理方程、级数等.教材和参考书教材：郭硕鸿《电动力学》（第二版）高等教育出版社，1997参考书：[1]黄迺本，方奕忠《电动力学（第二版）学习辅导书》，高等教育出版社，2004[2]J.D.杰克孙《经典电动力学》人民教育出版社，1978[3]费恩曼物理学
2、讲义，第2卷，上海科技出版社，2005[4]朗道等《场论》人民教育出版社，1959[5]蔡圣善等《电动力学》（第二版），高等教育出版社，2003[6]尹真《电动力学》（第二版），科学出版社，2005[7]DanielRFrankl,ELECTROMAGNETICTHEORY,Prentice-Hall,Inc.,1986矢量和张量目录(contens)1.矢量和张量代数(thealgebraofvectorsandtensors)2.矢量和张量分析(theanalysisofvectorsandtensors)3.函数(function)4.球坐标系和柱坐标系文档实用标准文案1
3、矢量和张量代数在三维欧几里德空间中，按物理量在坐标系转动下的变换性质，可分为标量（零阶张量），矢量（一阶张量），二阶张量，及高阶张量.（见郭硕鸿，电动力学，P258）分为：0阶张量，即标量(scalar)，在3维空间中，只有30=1个分量.标量是空间转动下的不变量.例如，空间中任意两点之间的距离r，就是坐标系转动下的不变量.温度、任一时刻质点的能量、带电粒子的电荷、电场中的电势，等等,都是标量.1阶张量，即矢量(vector)，在3维空间中，由31=3个分量构成有序集合.例如，空间中任意一点的位置矢量r，质点的速度v和加速度a,作用力F和力矩M,质点的动量p和角动量L、电流密度
4、J,电偶极矩p,磁偶极矩m,电场强度E,磁感应强度B,磁场矢势A，等等都是矢量.2阶张量(towordertensor)，在3维空间中，由32=9个分量构成有序集合.例如，刚体的转动惯量,电四极矩,等.3阶张量，在3维空间中，由33=27个分量构成有序集合.矢量表示印刷——用黑体字母，如r,A书写——在字母上方加一箭头，如正交坐标系的基矢量正交坐标系(如直角坐标系,球坐标系,柱坐标系)基矢量的正交性可表示为(1.1)一般矢量A有三个独立分量A1，A2，A3，故可写成(1.2)矢量的乘积两个矢量的标积与矢积，三个矢量的混合积与矢积分别满足(1.3)文档实用标准文案(1.4)(1.
5、5)(1.6)并矢量与二阶张量两个矢量A和B并置构成并矢量(1.7)它有9个分量和9个基，一般地.三维空间二阶张量也有9个分量，它的并矢量形式与矩阵形式分别为(1.8)(1.9)张量的迹是其主对角线全部元素(分量)之和：(1.10)单位张量的并矢量形式与矩阵形式分别是(1.11)(1.12)因此(Ⅰ.1)式中的符号实际上是单位张量的分量.对称张量与反对称张量若，称之为对称张量，它有6个独立分量，若对称张量的迹为零，则它只有5个独立分量.单位张量是一个特殊的对称张量.若，称之为反对称张量，由于，反对称张量只有3个独立分量.任何张量均可写成一个对称张量与一个反对称张量之和，即，只需
6、使，.文档实用标准文案二阶张量与矢量点乘，结果为矢量.由(Ⅰ.1)式，有(1.13)(1.14)一般地.但单位张量与任何矢量点乘，均给出原矢量：(1.15)并矢量与并矢量、或二阶张量与二阶张量双点乘，结果为标量.运算规则是先将靠近的两个矢量点乘，再将另两个矢量点乘：(1.16)2矢量和张量分析（1）算符和物理量在空间中的分布构成“场”(field).表示“场”的物理量一般地是空间坐标的连续函数，也可能有间断点，甚至会有奇点.例如:温度T、静电势的分布都构成标量场；电流密度J、电场强度E、磁感应强度B、磁场矢势A的分布都构成矢量场.是对场量作空间一阶偏导数运算的矢量算符，是二阶齐
7、次偏导数运算的标量算符，即拉普拉斯算符.在直角坐标系中，(2.1)三个基矢量均是常矢量.（2）标量场的梯度(gradientofascalarfield)标量场在某点的梯度(2.2)是一个矢量，它在数值上等于沿其等值面的法向导数，方向沿增加的方向，即(2.3)文档实用标准文案例如静电势的分布是一个标量场,即变成矢量场——静电场.（3）矢量场的散度(divergenceofavectorfield)矢量场通过某曲面通量(flux)定义为(2.4)其中是曲面某点附近的面积元矢量，方向沿曲面的法向
