第16章 多边形及其内角和

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1、第9讲多边形及其内角和赛点突破在学习了三角形有关概念和性质的基础上，我们来学习多边形。1．多边形的概念由若干条线段首尾顺次相连围成的图形叫做多边形，这些条线段叫做多边形的边。把多边形的任何一边向两方延长，如果其它各边都在延长线的同侧，这样的多边形叫做凸多边形。中学阶段我们主要研究凸多边形要使得n条线段能够围成一个n边形，任何n-1条线段的和应该大于第n条线段。2．多边形的对角线多边形的两个顶点的连线，如果它不是多边形的边，我们就称它为多边形的对角线，从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们把n边形分成n-2个三角形。一个

2、n边形有条对角线。3．多边形的内角和与外角和n边形的内角和是（n-2）•180º，n边形的内角和是360º。4．正多边形一个多边形，如果它的各条边长相等，各个内角也相等，我们就称它为正多边形。用某些正多边形可以镶嵌成美丽的图案来。范例解密例1．（1997-1998学年度天津市初二数学竞赛预赛试题）如图，ABCD是凸四边形，AB=2,BC=4,CD=7,求线段AD的取值范围。解设AD=x，因两点之间，线段最短，故有，解得：1

3、124°，∠E=80°，求∠F的度数。解如图，延长CD与EF的延长线交于H，延长CB与FA的延长线交于G。∵CD∥AF，∴∠G=180°-124°=56°，∠BAG=180°-90°-56°=34°由已知，∠CDE=∠BAF，∴∠HDE=34°，∠H=180°-100°-34°=46°，∴∠F=180°-46°=134°。例3．（1990年武汉市初二数学竞赛试题）一个多边形的内角和是它的外角和的994倍，这个多边形的边数是，此多边形的内角和中至多有个锐角。解设这个多边形的边数为n，依题意得方程：（n-2）·180°=994·360

4、°，解得n=1990。这个多边形至多有3个锐角，如果它的至少有4个锐角，那么这4个锐角的外角就都是钝角了，它们的和大于360°，这与多边形的外角和是360°是矛盾的。又只有3个锐角的1990边形是存在的，下面我们给出一种作图的方法：如图，先作出等边三角形ACE，然后作∠CAB=∠ACB=∠EAF=∠AEF=∠CED=∠ECD=10°，显然六边形ABCDEF仅有3个锐角。在FA，FE上各取一点G，H，连结GH，显然七边形ABCDEHG仅有3个锐角。仿此，我们可以作出八边形，九边形，…1990边形仅有3个锐角。说明：仅证明不能有4个锐

5、角是不够的，还必须证明存在只有3个锐角的1990边形，这才能说明这个多边形至多有3个锐角。例4．（1995年湖北省黄冈地区初中数学竞赛试题）计算凸九边形所有对角线的条数，以及以凸九边形顶点为顶点的三角形的个数。解以凸九边形一个顶点为一端点的对角线有6条，这样就共有6×9÷2=27条对角线（除以2是因为在6×9中每条对角线都被计算了两次）。边和对角线共有45条线段，每条线段是8个三角形的边，于是共有三角形45×8÷3=120个.说明：一般地，凸n（n≥3）边形有条对角线,以凸n边形顶点为顶点的三角形有个.例5．（1990年全国初中数

6、学联赛试题）若六边形的周长等于20，各边长都是整数且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，这样的六边形（）（A）不存在（B）只有一个（C）有有限个，但不止一个（D）有无穷多个。分析与解由n（n≥4）边形的不稳定性知，如果存在一个这样的六边形，那么符合条件的六边形就有无穷多个。设这样的六边形存在，且六边a1,a2,a3,a4,a5,a6满足a1≤a2≤a3≤a4≤a5,≤a6，则应有（1）a1+a2+a3+a4+a5+a6=20；（2）a1+a2≤a3,a2+a3≤a4，a3+a4≤a5,a4+a5≤a6（3）a1+a2+a3+a4

7、+a5>a6我们取a1=a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8，就满足以上所有条件，故符合条件的六边形有无穷多个。例6．求证：等边凸多边形内部任一点至各边距离之和相等.证明设P为边长为a的等边多边形内一点,P到各边的距离分别为h1,h2,…,hn,多边形面积为S,连结点P至各顶点的线段分n边形为n个三角形,则S＝ah1＋ah2＋…＋ahn＝a(h1＋h2＋…＋hn),因S为定值,故h1＋h2＋…＋hn为定值.例7．（2003年陕西省中考试题）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的

8、图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．