第五章 留数 习题课

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1、第五章、留数----习题课：1、试求下列各解析函数多多值函数的解析分支在指定各点的留数：（1），在；（2），在，n为整数；（3），在；（4），在；2、函数的各解析分支在各有怎样的孤立奇点？求它们在这些点的留数。3、计算下列积分：（1），其中是；（2），其中是；（3），其中是；1、设函数在区域内解析，C表示圆我们把积分定义作为函数在无穷远点的留数，记作，在这里积分中的表示积分是沿着按顺时针方向取的。试证明：如果表示在的洛朗展开式中的系数，那么。2、试求下列函数在无穷远点的留数：(1)；(2);(3)；3、试把关于留数的基本定理1.1设在转移到D是扩充复平

2、面上含无穷远点区域的情形。1、证明：如果在扩充复平面除了有限各奇点外，在每一个点解析，那么函数在所有奇点上的留数（包括无穷远点的留数）之和为零。用此结果计算积分：。。2、求下列积分：（1）；（2），其中00；（4）；（5）；（6）；（7），其中0

3、z

4、=2按反时针方向取的；1、试由，证明；（1）（2）其中h>0；10、试证：在定理5.1的条

5、件下，如果在闭区域上解析，并且及分别是在D内零点和极点，而其阶数分别是及，那么11、应用儒歇定理，求下列方程在

6、z

7、<1内根的个数：（1）；（2）；（3），在这里在上解析，并且；12、试用儒歇定理证明代数基本定理。13、（1）计算积分：（2）设P(z)及Q(z)是两个多项式，而且P(z)的次数小于Q(z)的次数；设Q(z)在原点及正实轴上没有零点。证明：当整数时，积分的值可以用在角形中的留数表示出来：,其中Z是在A内的所有零点构成的集合。14、设解析函数序列在区域D内内闭一致收敛于不恒等于零的函数。应用儒歇定理，证明：（1）如果在D内没有零点，那么在D

8、内也没有零点。（2）用是及Z分别表示及在D内的零点集，那么对于任何正整数p，，而且其中表示的闭包，即与其所有聚点组成的集的并集。