第五章留数及其应用

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1、第五章留数及其应用(Residueandapplication)第一讲授课题目：§5.1孤立奇点教学内容：孤立奇点的分类、各类奇点的特征、函数的零点与极点的关系、函数的零点与极点的关系.函数在无穷远点的性态学时安排：2学时教学目标：1、掌握孤立奇点的分类2、理解并掌握各类奇点的特征3、了解函数的零点与极点的关系及函数的零点与极点的关系教学重点：孤立奇点的分类教学难点：各类奇点的特征教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：习题五：1-5板书设计：一、孤立奇点的分类二、各类奇点的特征三、函数的零点与极点的关系参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学

2、习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、38《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会判断函数的孤立奇点，并能正确分类2、基本掌握各类奇点的特征3、课后要答疑教学过程：38§5.1孤立奇点(Isolatedsingularpoint)一、孤立奇点的分类（Isolatedsingularpointsof）设函数在去掉圆心的圆盘内解析，那么我们称为的孤立奇点.在内，有洛朗展式其中是圆.为的解析部分，为的主要部分.例10是，的孤立奇点.例2，是它的孤立奇点.一般地，对于上述函数，按照它的

3、洛朗展式含负幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：定义（Definition）5.1(1)若在的主要部分为零，38则称为的可去奇点.(2)若在点的主要部分为有限多项.即()则称为的阶极点.(3)若在点的主要部分有无限多项,则称为的本性奇点.二、各类奇点的特征(Thecharacteristicsofvarioustypesofsingularities)1、可去奇点(Removablesingularity)我们说是的可去奇点，或者说在有可去奇点.这是因为令，就得到在整个圆盘内的解析函数.定理(Theorem)5.1函数在内解析，那么是的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，，

4、其中是一个复数.证明：（必要性）.已知是的可去奇点，在内，有洛朗展式：因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在38内解析，于是显然存在着.（充分性）设在内，的洛朗展式是其中已知，所以存在着两个正数及，使得在内，那么取，使得，我们有当时，在上式中令趋近于0，就得到.于是是的可去奇点.定理(Theorem)设为的孤立奇点，则是的可去奇点的充分必要条件是：存在着某一个正数，使得在内有界.2.极点(Pole)设是的阶极点.当时，称是的单极点，当时，称是的重极点.38是的阶极点，那么在内，有洛朗展式：在这里.于是在内其中是一个在内解析的函数，并且.反之，如果函数在内可以表示成为上式右端的

5、形状，而是一个在内解析的函数，并且，那么可以推出是的阶极点.这样我们就得到：是的阶极点充要条件是：（1）其中在解析，并且.由此可得如下定理：定理(Theorem)5.2设函数在内解析，那么38是的极点的充分必要条件是：.推论设函数在内解析，那么是的阶极点的充分必要条件是：，在这里是一个正整数，是一个不等于0的复常数.3.本性奇点(Essentialsingularity)定理(Theorem)5.3设函数在内解析，那么是的本性奇点的充分必要条件是：不存在有限或无穷极限.例3研究是函数孤立奇点的类型解：是函数的孤立奇点.当沿正实轴趋近于0时，趋近于；当沿负实轴趋近于0时，趋近于0；所以不存在，故

6、是函数的本性奇点.例4研究是函数孤立奇点的类型解：是函数的孤立奇点.因为函数在内的洛朗展式为38由于展式中负幂项系数均为0，故故是函数的可去奇点.例5求出下列函数的奇点，并确定它们的类型，对无穷远点也要加以讨论：（1）（2）解（1）（法一）以为奇点先求在的洛朗展式：由此，在的负幂项部分为零；故为的可去奇点.（法二）因为故为可去的奇点（2）显然是的二级极点.三、函数的零点与极点的关系(Functionrelationshipbetweenthezeroandpole)定义(Definition)5.2若，其中在38解析，且，是一正整数，则称为的阶零点.定理(Theorem)5.4若在解析，则为的

7、阶零点充分必要条件是证明：（必要性）若为的阶零点，则设在的泰勒展式为其中，从而在的泰勒展式为由此式推知（充分性）课后作业注1：不恒为零的解析函数的零点是孤立的(Analyticfunctionisnotidenticallyzerozeroisisolated)零点与极点有如下关系定理(Theorem)5.5为的阶极点，则是的阶零点，反之亦然.38例6函数有什么奇点？如果是极点，指出它们的阶.解：