第五章留数及其应用

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1、第五章留数及其应用5.1解：（1）是本性奇点（2）是非孤立奇点（3）是一阶极点5.2解：（1）是单零点。（2）是二重零点，是单零点。（3）是四阶零点，是一阶零点。5.3解：（1）是一阶极点，是二阶极点（2）是二阶极点（3）是一阶极点（4）是三阶极点，是一阶极点（5）是可去奇点（6）是可去奇点，是一阶极点5.4证明：函数以为极点的充要条件是以为零点，由此可知道，结论成立。5.5证明：令；，则，所以当时，当时，上式左边两个极限均为零；当时，上式两边极限均为，故结论成立。5.6解：（1）是可去奇点（2）是可去奇点65.7解：

2、（1）孤立奇点有0，。（2）孤立奇点有（3）孤立奇点为-1，（4）孤立奇点为0，（5），（6）则5.8利用留数计算下列积分：解：（1）原积分====0（2）原积分==(3)原积分==6(4)原积分=(5),令在内无奇点，故原积分=0；时，在内有极点，原积分=；时，原积分=5．9判定是下列各函数的什么奇点，并求出在的留数：解：（1）不存在，故为的本性奇点。=故（2）解：=0，所以为可去奇点，（3）解：显然为它的简单极点，65.由逐项积分定理及n为整数其中c是以a为中心，以为半径的圆周，故即等于在点的洛朗展开式中这一项的反

3、号5．12求下列各积分之值：（1）解：中；令，令，故即=（2）解：令则原积分==6（3）解：，它共有两个二极极点，且在实轴上无奇点，在上半平面仅有二阶极点，所以原积分=（4）解：，函数有一个一级极点=故（5）解：令，在实轴上无奇点，且比高二次在上半平面共有两个一阶极点，故所以=（6）解：令容易验证满足若尔当引理条件。故6=所以=5.13证明：令，则在上，故可以知道在内有相同个数的零点，故在内有四个零点，再令，则在上，在内有一个零点，所以在内有3个零点。5.14解：令，则在上，所以在单位圆内有一个根；令，则在上，故可以知

4、道在内有相同个数的零点，故在内有四个零点，因此在内有3个根。5.15证明：令，则在上，故可以知道在内有相同个数的零点，即方程在单位圆内有个根。6