复变函数——例题

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1、复变函数——例题第一章例题例1.1　试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？　（1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧；　（2）倾角的直线；　（3）双曲线。解　设，则　　　　　　　　　因此　（1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。　（2）在平面上对应的图形为：射线。　（3）因，故，在平面上对应的图形为：直线。例1.2　设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0.证　因在点连续，则，只要，就有　　　　　　　　　特别，取，则由上面的不等式得　　　　　　　

2、　　因此，在邻域内就恒不为0。例1.3　设　　　　　　　　　　　试证在原点无极限，从而在原点不连续。证　令变点，则　　　　　　　　　从而（沿正实轴）而沿第一象限的平分角线，时，。故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。第二章例题例2.1　在平面上处处不可微证　易知该函数在平面上处处连续。但　　　　　　　　　　　当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。例2.2　函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。证　因。故　　　　　　　　　但　　　　　　　

3、　　　　在时无极限，这是因让沿射线随而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。例2.3　讨论的解析性解　因,故　　　　　　　　　要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4　讨论的可微性和解析性解　因,故　　　　　　　　　要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。例2.5　讨论的可微性和解析性，并求。解　因,而　　　　　　　　　在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且　　　　　　　　　。例2.6　设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求之值。

4、解　设，则　　　　　　　　　由代入得　　　　　　　　　解得：，从而　　　　　　　　　。例2.7　设则　　　　　　　　　且的主值为。　例2.8　考查下列二函数有哪些支点　(a)　(b)解　（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线,当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变,即　　　　　　　　　从而　　　　　　　　　故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1也是其支点。　　任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简单闭曲线，则　　　　　　　　　故的

5、终值较初值增加了一个因子，未发生变化。　　最后不是的支点。因若设含0，1的简单闭曲线，则　　　　　　　　　故的终值较初值增加了一个因子，未发生变化。　　（b）可能的支点是0，1，。设分别是含0但不含1，含1但不含0，和既含0又含1的简单闭曲线，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　结果的终值较初值均发生了变化。故0，1，都是支点，此外别无支点。　　例2.9　试说明在将平面适当割开后能分出三个解析分支。并求出在点取负值的那个分支在的值解　易知的支点是。因此，将平面沿正实轴从0到1割开，再沿负实轴割开

6、。在这样割开后的平面上，能分出三个解析分支。　　现取一条从到的有向曲线（不穿过支割线），则　　　　　　　　　于是　　　　　　　　　又由题设，可取。故得　　　　　　　　　。　　（3）关于对数函数的已给单值解析分支，我们可以借助下面的公式来计算它的终值：　　　　　　　　　即　　　　　　　　　　　其中是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线；是满足条件那一支在起点之值的虚部，是一个确定的值。　　例2.10　试说明在割去“从-1到的直线段”，“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。并

7、求时等于零的那一支在的值。解　的支点为。这是因　　　　　　　　　当变点单绕一周时，　　　　　　　　　故的值增加了，的值未改变，从而，的值增加了，从一支变成另一支。故是支点，同理也都是支点，此外无其它支点。故在割去“从-1到的直线段”，“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。　　现设是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线。则　　　　　　　　　故　　　　　　　　　这就是所要求之值。　例2.11　求反正弦。解　　　　　　　例2.12　求解　　　　。第三章例题例3.1命表连接点及的

8、任一曲线，试证　　（1）　　　　（2）　　证　（1）因，故　　　　　　　　，即　　　　（2）因,选则得　　　　　　　　，但我们又可选，则得　　　　　　　　　由定理3.1，可知积分存在，因而的极限存在，且应与及的极限相等，从而应与的极限相等。今　　　　　，所以。　　注　当为闭曲线时，例3.2　（重要的常用例子）　　　　　　　　　这里表示以为心，为半径的圆周。（注意，积分值与,均无关）。　　证　的参数方程为：。故　　　　　　　　　；当为整数且时例3.3　试证。积分路径是连接和的直线段