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1、伴随矩阵的若干性质及其解题中的应用第23卷第1期2002年3月教学与研究V01.23,No.1Mar.,2002伴随矩阵的若干性质及其解题中的应用.周华任(解放军理工大学理学院数理系应用数学教研室,南京211101)摘要:伴随矩阵在教材中是作为公式法求逆矩阵的一个工具而提出的,有关它的性质及其运用在教材中出现很少.但伴随矩阵的性质及其应用是历届考研的重点内容之一.本文归纳了伴随矩阵的重要性质,以及讨论了其在解题中的方法和技巧.关键词:伴随矩阵;逆矩阵;转置矩阵首先总结伴随矩阵的若干性质,并给出相应的证明.1最基本的性质AA*=A*A=IAIE(该性质由伴随矩阵的定义
2、易得出.)2三个基本公式A=lAlA一(A可用A一和lAl来表示,若A可逆).(A)_.=(1AlA一)一=A/lAl((A)一可用A和lAl来表示,如果A可逆).(A)=lAl一A((A)可用从和lAl来表示).Ja~(A)=lAl(A.)一=IIAlA一l(1AIA一)一=lAIIAI一lAl一A=IAI"一A.3伴随矩阵的其他几个性质(AB)=BA((AB)=IABI(AB)一=IAlIBIB一A一=(IBIB一)(IAIA一)=BA.)(A)T=(AT)(由伴随矩阵A的定义有:A=[Aj1],故(A)T=[Aji]T=[Aij],?收稿日期:2001—06—
3、18作者简介:周华任,男.1970年生,硕士,讲师睡_I62教学与研究23卷又(AT)=([]T)=[aji]=[Aij].(A)T=(AT).)(A)一=(A一)(A(A一)=IAIA一IA一I(A一)一=E(1)=kA(k为实数).((kA)=IkAI(kA)一'=k"IAIk一'A一=k"一lAlA一=k"一'A.)[(A一)T]=[(A)T]一'([(A一)T]=[(A一')]T=[(A')一-]T=[(A)T]一I)4伴随矩阵A*的行列式性质IA*I-IAIn一证?.'A=IAIA～.IAI=IIAIA一I=IAI"IAI一=IAIn～.5伴随矩阵A*的秩
4、的性质r,Ir(A)=,I时r(A)={1r(A)=n一1时0r(A)<n一1时证1)当KA)=n时,lAl≠0,由从=lAlE.r(A)=KAA)=r(1AlE)=,I.2)当KA)=n一1时,由定义知A中至少有一个.11—1的阶子式不等于0,.?.KA)≠0.KA)≥1,另一方面,..'r(A)=11—1.A中所有的n阶子式(只有一个,即lA1)都等于0,从而lAl=0..?.从=lAlE=0.?.KA)+KA)≤n.?.KA)s1则有KA)=13)当KA)<n一1由矩阵秩的定义可知:A中所有的n一1阶子式全为0,即A中所有元素为零,则A=0.?.K
5、A)=06伴随矩阵A*的特征值的性质若A的特征值为,则A的特征值为lAl,(A)的特征值为lAln一.证在Ax=;iX的两边左乘A,AAx=X,由AA=lAlE.X=lAlX,则AX=lAlX,A的特征值为-1lAl.在AX=XX的两边乘IAI2,得IAIAX=IAIX.即(A)X=lAln一-X,所以,(A)的特征值为lAln-2k.下面通过示例说明伴随矩阵的性质在解题中的应用.例1[1992年考研5]已知实矩阵A=[]33,符合条件:(1)=A:i(i,j=1,2,3),其中Aifi{,J●{J{{{jI!J.PtIi—J1期周华任伴随矩阵的若干性质及其解题中的
6、应用63是的代数余子式;(2)all≠0,计算行列式IAI.解'.'alj=AijIAI=C{IIAll+又?.?A'=A'r.?.?lA12=IAl.all≠0,IAI按第1行展开:al2Al2+al3Al3=l+z2+≠O.A=从'=IAIE.,即lAI(IAI一1)=0.而IAI≠0.IAI=1.例2[1993年考研5]已知三阶矩阵的逆矩阵为A.1解用初等行变换可求出A-1的逆矩阵A=l一15/2厂L..1/2则(A')～=A/IA例3[1995年考研].求A的逆矩阵..—1./2]0I,且易求得IAI=1/2.1/2J解'.'(A')～=面1A,而=10I.
7、..(A')=A=l1/51/10rL3/10求(A')_..例4设A为三阶方阵,IAI-1,求I(3A)_.一2AI.解?.?A一=IAI-1A'=2A',化成A'的行列式计算I(3A)～一2A'I.'了1?2A'一2A'I-I一号A'I-(一号)IA'=17/27.例5[1996年考研5]设有4阶矩阵A满足I3E+A=01,从T=2E,IAI<0,其中E为4阶单位阵,求伴随矩阵A'的一个特征值.解由题设知IA一(一3E)I_0.一3为A的一个特征值.从T=2E'...IAI2=16.IAI=一4.A'的一个特征根为(一1/3)(一4)=÷.J例6[19
