厦门理工学院2014概率论与数理统计复习

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1、第一章概率论的基本概念1、概率的定义和基本性质（1）概率的几种定义（2）概率的性质①②逆事件的概率③单调性；设是两个事件，且则且更一般地，若是两个任意事件，则故④加法定理；若是两个任意事件，则特别地，若独立，则⑤有限可加性；若个事件满足则2、条件概率（1）定义；（其中）称为在事件发生的条件下事件发生的条件概率，它本质上仍是事件的概率。（2）乘法公式；（3）基于条件概率的全概公式与贝叶斯公式；若是一个完备事件组，则为全概公式。【可以理解为的发生是由造成的】而为贝叶斯公式；利用它可以求的条件概率。【既然的发生是由造成的，那么各个应该为此贡

2、献了多大（或该分摊多少责任）呢？】3、事件的独立性(1)定义；若，即事件发生的概率与事件的发生与否无关，此为相互独立；因此相互独立（2）独立事件的性质①若相互独立，则与，与，与都相互独立；②事件相互独立，即其中任意个事件相互独立；因此相互独立比两两相互独立结论更强，条件更苛刻，因为两两独立只是的情形。【相互独立与互不相容的关系：互不相容，故，它们之间是不共戴天的，其中一个事件的发生对另外一事件有影响，因此不独立】考点：1个填空题+3个选择题+1个计算题（全概公式或贝叶斯公式）（6分）=18分第二章随机变量及其分布引进随机变量的目的是为

3、了数量化刻画随机事件，根据随机变量离散或连续性，便有了离散与连续性分布。1、随机变量的分布函数；设是随机变量，是任意实数（可看作相对固定的数），函数称为的分布函数。【即为数量化的事件，数轴上可表示为左边的数集】2、性质；（参看课本）【离散型随机变量的分布函数是阶梯函数，由分布函数的定义可知它右连续，即存在右连续的间断点；而连续性随机变量分布函数当然既左连续且右连续】3、概率密度函数；它反映的是事件平均在单位长度的概率大小，因此作为被积函数。【要求：熟练掌握离散性随机变量分布列，以及求连续性随机变量的分布函数或密度函数】4、几个常见离散

4、与连续性分布；（1）离散型：0-1分布，二项分布，泊松分布【泊松分布式二项分布的极限形式，即当很大，较小时，可用泊松分布近似二项分布】（2）连续型：均匀分布、指数分布、二项分布【鉴于连续型随机变量的分布函数用定积分描述，而表示在上围成的面积，因此应将概率与“面积”对应起来考虑，这样更直观；不要将均匀分布与正态分布符号混淆】【另外：对于标准正态分布的分位点，其定义是，故，这与分布的分位点查表法有区别】1、随机变量函数的概率分布（重难点）若为随机变量，则仍是随机变量，因此的分布与的分布是有联系的。本节大家应掌握好‘分布函数法’求诸如等随机

5、变量的概率密度。【看懂课本3个离散、3个连续型分布的分布律与分布函数，能求随机变量的分布律或概率密度函数】考点：2填空题+1选择+1计算题+1证明题（4分）=19分第三章多维随机变量及其分布1、定义；随机向量对应的分布函数便是多元函数，分离散型和连续型；2、边际分布；即利用的联合分布列或联合分布函数，求出关于或的各自分布。3机变量的独立性；本节是第一章事件独立性的延续，相互独立故用来定义与的独立性。与的独立性用密度函数关系来判断。【参课本例】4、两个随机变量的函数的概率分布（重难点）【能求常见作为新的随机变量的分布】考点：计算题（9分

6、）第四章随机变量的数字特征数学期望、方差的定义，性质应熟记，能算；常见6种分布的期望与方差熟记。数学期望是定义方差、协方差、矩的基础，要注意公式的灵活运用、各性质；会求协方差与相关系数。考点：2填空题+1选择+1计算题（6分）=15分第五章大数定律及中心极限定理大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研究大量随机现象统计规律性的。阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定律都称为大数定律。论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布的定理称为中心极限定理。（1）大数定律表明，若随机变量相互独立、同分布，则当较大时，的数学期望可以被的

7、算术平均值近似；【由于仍然是随机变量，因此当较大时的数学期望可以被的算术平均值近似，如：可以被近似，这就来源于辛钦大数定律，这一推论直接应用于第七章矩法点估计，鉴于算术平均值的稳定性，因此将它近似数学期望】（2）中心极限定理说明，具有数学期望，方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。【即，，其标准化的随机变量，这一结论在后面的章节中应用广泛；另外，大家注意到，第六章三个重要分布定义中的样本都来自于正态分布；其实，无论样本来自于什么总体，根据中心极限定理，其和仍近似服从正态分布】不难发现，本章结论实际上是数理统计的重要理论依据。

8、考点：1选择=3分第六章数理统计的基本概念1、统计量实际上是元随机变量的函数，可以看作是元函数；几个常用统计量样本均值、样本方差、样本矩是比较有价值而常用的统计量。2、三个重要分布于抽样定理；统计量的分布称为抽样分布，本