2003-2004(二)高等代数期末试题b - 副本

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1、系班姓名------------密------------封------------线------------题号一二三四总分得分2003年---2004年第二学期数学系2003（本）高等代数期末试题（A）一、填空题：（15分，每小题3分）1、若是W1，W2是V的两个有限维子空间，则dimW1+dimW2dim（W1+W2），当且仅当时，等号成立。2、设{}是V的一个基，（）=（）A，则当A是矩阵时，{}也是V的基。3、在R3中，线性变换（x1，x2，x3）=（x1，0，x3）只有特征根。4、n维欧氏空间V中向量在标准正

2、交基{}下的坐标是（x1，x2，…，xn），那么（）=，

3、

4、=。5、如果W是域F上有限维线性空间V的一个子空间，则W在V中的余维数为。二、选择题：（15分，每小题3分）6、一个实二次型可以分解成两个不成比例的实系数一次齐次式，则它必有（）A秩为2且符号差为2；B秩为0；C秩为2且符号差为0；D秩为1。7、若把同构的子空间称作一类，则n维向量空间的子空间共分成（）A1类；B2类；Cn类；D（n+1）类。8、设线性变换在基{}下的矩阵是，在{}下的矩阵是（）。A；B；C；D。9、n维欧氏空间V的一个线性变换关于任意标准正交基

5、的矩阵为实对称矩阵是为对称变换的（）A充分而不必要条件；B什么条件都不是；C必要而不充分条件；D充分必要条件。10、正确的断语是（）A线性变换在一个基下可以对角化，则在任何基下可以对角化；B线性变换在一个基下不可以对角化，则在任何基下都不可以对角化；C线性变换在一个基下可以对角化，则在无限多个基下可以对角化；D线性变换在无限多个基下不可以对角化，则在任何基下不可以对角化。三、计算题：（共50分）11、在中；给定一个内积为，求的一个标准正交基。（7分）12、求矩阵的若当标准形。（7分）13、设，（1）证明：当时，有；（7分

6、）。（2）求。（7分）14、设数域K上的n级矩阵A满足，判断A是否可以对角化。（7分）15、设是R3的线性变换，。求：（1）的值域V的一组基和维数；（7分）（2）的核的一组基和维数。（8分）四、证明题：（共20分，其中17小题（2）选作，不计入总分）16、设是n维欧氏空间V的一个线性变换，证明为对称变换的充要条件为有n个两两正交的特征向量。（10分）17、设数域F上n维向量空间V的线性变换在基下的矩阵为试证明：（1）若V0是的一个不变子空间，且则都属于V0；（10分）（选作）（2）{0}，是的全部--子空间。（10分）