无单元伽辽金方法在触地结构传热中的应用

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1、无单元伽辽金方法在触地结构传热中的应用湖南大学土木工程学院李向前陈友明☆摘要本文介绍了无单元伽辽金方法的基本原理及在二维稳态触地围护结构传热中的应用。结果表明：无单元伽辽金方法建模只需要节点数据，不需要单元及单元的相关性数据，大大减少了建模初期的准备工作，计算精度高，很适合处理复杂的多维传热问题。关键词触地围护结构传热；无单元伽辽金方法AbstractAmeshlesselement-freeGalerkinmethod(EFGM)isintroducedandappliedtotwo-dimensionalsteady-state

2、ground-coupledheattransferproblems.TheconstructionoftheEFGMapproximationrequiresonlynodaldata—noelementstructureisneeded.ThenumericalintegrationoftheGalerkinweakformneedsonlysimpleintegrationcells—noelementconnectivityisneeded.TheEFGMreducedconsiderablythepreparationof

3、themodel.TheEFGMresultsagreeverywellwiththefiniteelementmethodresults.keywords:Ground-coupledheattransfer;ElementfreeGalerkinmethod1.引言节能减排是我国的能源政策。目前建筑地上部分的围护结构保温（寒冷地区）或隔热（炎热地区）材料的性能越来越好，地上部分围护结构的节能效率越来越高，以至于建筑地下部分围护结构的节能效率直接关系到整个建筑的节能效率，因此建筑地下结构的节能问题不能再忽视了。地下结构节能效率的关

4、键在于充分地分析地下结构的传热问题。而处理这类具有二维和三维特性并且边界条件复杂的传热问题，数值方法是最佳的选择。Davies[1]利用二维的有限差分方法把地下传热问题整合进了建筑能耗仿真软件；Deru[2]发展了一个二维的热湿传递有限元模型，这个模型详细地处理了土壤表面的热湿平衡和土壤结冰对触地围护结构热传递的影响；Mihalakakou等[3]利用瞬态的有限容积方法预测了建筑地下部分不同深度土壤的温度。以上所提到的有限差分法、有限元法、有限容积法有一个通用的特性——都是以单元为基础的数值方法。然而把复杂问题离散为一个个小单元紧密

5、相关的线性问题是一个非常耗时而且很容易出错的过程。为了避免这个繁琐的需要考虑单元之间关联性的离散过程，本文引进了无单元伽辽金方法[4]。无单元伽辽金方法形函数的构建只需要节点数据，不需要单元数据，也不需要单元之间的相关性数据。实例表明无单元伽辽金方法计算精度高，稳定性好，建模简单，非常适合处理复杂的二维和三维传热问题。2.无单元伽辽金方法无单元伽辽金方法最主要的特点是形函数的构建是通过移动最小二乘方法来完成的。移动最小二乘方法由三个部分组成：权函数、基函数和系数。根据移动最小二乘原理，全域内温度场的近似表达式[5]为：9(1)式中，

6、是向量坐标是一组基函数，m是基函数的项数。二维空间的线性基；是一组随变化的系数(2)全域内任一点的局部近似式为(3)取二次函数(4)式中，n是邻域内使权函数大于0的节点数,是节点I的参数。本文采用的是四次样条权函数(5)式中，r是正则化半径。对求极值可得(6)式中(7)把式代入式，可得移动最小二乘近似式(8)(9)1.变分原理和方程离散各向同性均匀介质的稳态热传导方程：(10)本质边界条件：(11)自然边界条件：(12)9式中，k是导热系数，h是对流换热系数，是本质边界上的已知温度，是环境空气温度，n是自然边界上的单位外法向向量。采

7、用拉格朗日乘子方法[5]处理本质边界条件，式-的变分为(13)令，得(14)(15)1.结果图1方形地下室的几何形状和边界条件本文算例的几何形状如图1所示，地下室地板的半宽长度a为5m，深度b为4m，遥远边界距离F为10m，深层土壤边界深度D为12m，室内对流换热系数hi为5W/(m2K)，室外对流换热系数he为7W/(m2K)，室内空气温度Ti为22ºC，室外地表面温度Te为26ºC，深层土壤边界温度Tdg为18ºC。地下室周围的土壤简单假定是一个层状的土壤，每一层的土壤是各向同性均匀的，一层土壤的导热系数k1为2W/(mK)，二

8、层土壤的导热系数k2为1W/(mK)。地下室的墙板的热物性参数假定与一层土壤相同，地板的热物性参数假定与二层土壤相同。相对误差计算式：(16)式中，TFEM是有限元方法计算值（ANSYS软件采用PLANE55单元），TEFGM是无单元