直线倾斜角与斜率

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1、3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1直线的倾斜角（1）定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。（2）如图中的是直线的倾斜角，当直线和轴平行或重合时，我们就规定直线的倾斜角为.因此，倾斜角的取值范围是.（3）关于理解直线倾斜角应注意的几点:①清楚定义中含有的三个条件：A.直线向上方向；B.轴的正方向；C.小于平角的正角.②从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.③倾斜角的取值范围是：.④倾斜角是一个几何概念，它直观地描述了直线对轴正方向的倾斜程度.⑤平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且

2、倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.⑥确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可.3.1.2直线的斜率斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示，即说明：①当倾斜角是时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，此时，直线垂直与轴（或平行于轴或与轴重合）；②所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率；③直线的斜率也反映直线相对于轴的正方向的倾斜程度，当时，k＞0，斜率越大，直线的倾斜程度就越大；当=90º时，k不存在；当时，k＜0，斜率越大，倾斜角越大.④斜率的公

3、式：直线上两点且，则直线的斜率例题1：设直线l与x轴的交点为P，且倾斜角为，若将直线l按逆时针方向旋转45º，得到直线l′的倾斜角为＋45º，则（）A.0º≤＜90ºB.0º≤＜135ºC.0º＜≤135ºD.0º＜＜135º解答：由于直线l与x轴相交，可知≠0º，又与＋45º都是直线的倾斜角，所以0º＜＜180º且45º＜＋45º＜180º，∴.0º＜＜135º故选D例题2：给出的下列结论①直线的倾斜角不是锐角就是直角或钝角；②如果直线的倾斜角是锐角，那么直线的斜率为正实数；③如果直线的倾斜角是钝角，那么直线的斜率为负实数；④如果直线的倾斜角为直角，那么直线上不同的两点的横坐标相等

4、，而纵坐标不等。其中，正确的结论是_________（填序号）解析：①错，错在了遗漏了0º的角，故选②③④例题3：下列说法正确的是：（）A.直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tanB.直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为C.若直线的倾斜角为，则sin＞0D.任意直线都有倾斜角，但它不一定有斜率解析：对于选项A，当＝90º直线的斜率不存在，故A错，对于B选项，虽然直线的斜率为tan，但只有当[0º，180º﹚时，才是此直线的倾斜角，故B错，对于C选项，当直线平行于x轴时，＝0º，而sin0º＝0，故C错，所以选D例题4：已知直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为

5、（）A.30ºB.120ºC.150ºD.60º解析：k＝tan＝，且，所以＝150º点评：应熟记下列正切的值：角度0º30º45º60º90º120º135º150º180ºtan01不存在0例题5：若0º＜＜90º，则经过两点(0,sin),(cos,0)的直线的倾斜角为（）A.B.＋90ºC.180º－D.－思路分析：要求直线的倾斜角，必须先求斜率，因为斜率是倾斜角的正切值（斜率存在），由此可以求得解析：设直线的倾斜角为﹙≠90º﹚，则(此公式为正切诱导公式，不用纠结于此，到后面我们会讲到)∵0º＜＜90º，∴－90º＜－＜0º，∴90º＜180º－＜180º又[0º，180º

6、﹚，∴=180º－故选C例题6：已知直线经过两点A(2，1),B(m，2)（mR）,求直线l的斜率。解析：①当m=2时，，直线l与x轴垂直，所以直线的斜率不存在②当m≠2时,直线l的斜率综上所述,当m=2时,斜率不存在,当m≠2时,斜率k=3.1.3两直线平行设两条直线,的斜率分别为,若∥,则与的倾斜角与相等,我们可以得到,即,因此,若∥,则,反之,若,且,则∥,于是我们得到,对于两条不重合的直线,,其斜率分别为,有∥,.此处并需注意一下两个问题:①上面两条直线平行的条件是斜率都存在且不重合②当都垂直于x轴且不重合时,由于垂直于同一条直线的两直线平行,可推得∥.3.1.4两直线垂直设

7、两条直线的斜率分别为.若⊥，则.注意：①千万注意此处⊥成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；②两条直线中，当一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0时，则两条直线垂直.例题7：已知经过点A(-3，3),B(-8，6),经过点M(,6),N(,-3),求证：∥点评：判定两条不重合的直线是否平行的依据：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）。判定两条直