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《10第二章平稳随机过程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章：平稳随机过程严平稳过程的定义宽平稳过程的定义平稳过程的数字特征平稳过程自相关函数的性质时间平均和集合平均的概念平稳过程遍历性定义遍历性判定定理遍历性应用举例平稳随机过程是一类应用广泛的随机过程，在稳定系统中出现的随机过程都属于平稳随机过程。例如：纺织过程中棉纱横截面积的变化；军舰在海浪中的颠簸；电阻的热噪声；这些随机现象的特点是：统计特性不随时间的推移而变化。严平稳过程的定义设{X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意常数τ和正整数n，t1,t2,…,tn∈T，t1+τ,t2+τ,…,tn+τ∈T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))与
2、(X(t1+τ),X(t2+τ),…,X(tn+τ))有相同的联合分布，则称{X(t),t∈T}为严平稳过程或狭义平稳过程。严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定。当产生随机现象的一切主要条件可以视为不随时间的推移而改变时,这类过程可以看作为平稳的.例如:电子管中散弹效应引起的电路中的噪声电压;通信,自动控制等领域的许多过程都可以认为是平稳随机过程。均值mX(t)=E[X(t)];均方值φX(t)=E[X2(t)]；方差D[X(t)]=E[X2(t)]-[E(X(t))]2=φX(t)-mX2(t);自相关函数RX(t1,
3、t2)=E[X(t1)X(t2)]；协方差函数Cov(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2)平稳过程的数字特征对于平稳随机过程X(t)的一维分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+τ)，若令τ=-t1，则F1(X1,t1)=F1(X1,0)=F1(X1)(1)因此平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规律相等。(2)若随机过程X(t)平稳过程，则其均值、均方值和方差均为常数。(3)对于平稳随机过程X(t)的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ε,t2+ε)，若令ε=-t1，则F2(X
4、1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1=τ，则：F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;τ)(4)平稳过程的自相关函数是时间τ的单变量函数。同理，协方差函数是时间τ的单变量函数宽平稳过程的定义设{X(t),t∈T}是随机过程，如果{X(t),t∈T}是二阶矩过程；对任意t∈T，mX(t)=EX(t)=常数；对任意s,t∈T，RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(s-t)则称{X(t),t∈T}为广义平稳过程或宽平稳过程。严平稳过程和宽平稳过程的关系（1）宽平稳过程不一定是严平稳过程（2）严平稳过程只
5、有当二阶矩存在时为宽平稳过程（3）但是对于正态过程，其分布由均值和自相关函数完全确定，二者是等价的。例题1：设Y是随机变量，试分别考虑X(t)=Y和X(t)=tY的平稳性。例题2：设{Xt，t=0,±1,±2,…}是实的互不相关随机变量序列，且E[Xt]=0,D[Xt]=σ2。试讨论随机序列X(t)=Xt的平稳性。例题3：设S(t)是一周期为T的函数，θ在(0,T)上均匀分布，称X(t)=S(t+θ)为随机相位周期过程，讨论其平稳性。例题4：随机过程X(t)只取+I和-I，且P{X(t)=+I}=P{X(t)=-I}=1/2，而正负号在(t,t+τ)
6、的变化次数N(t,t+τ)是随机的，且事件AK={N(t,t+τ)=k}的概率为试讨论X(t)的平稳性。联合平稳过程设{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}是两个平稳过程，若它们的互相关函数和仅与τ有关，而与t无关，则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。当两个平稳过程X(t)，Y(t)是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程。设{x(t),t∈T}为平稳过程，则其相关函数具有下列性质：（1）（2）（3）平稳过程自相关函数的性质(4)若X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)=X(t+T)，则RX(τ)=RX(τ+T)；(5)若X(t)是不含周期分
7、量的非周期过程，当
8、τ
9、→∞时，X(t)与X(t+τ)相互独立，则平稳过程自相关函数的性质已知平稳随机过程的自相关函数为:求其均值和方差.习题:随机分析在普通函数的微积分中，连续、导数和积分的概念是建立在极限概念的基础上。对于随机过程，随机过程的连续性、导数和积分的等概念都是建立在随机序列极限的基础上。这部分内容称为随机分析。处处收敛对于概率空间(Ω,F,P)上的随机序列{Xn}每个试验结果e都对应一序列，如果该序列对每个e都收敛，则称随机序列{Xn}处处收敛，即满足其中，x为随机变量。以概率1收敛二阶矩随机序列{Xn(e)},二阶矩随机变量X(e)
10、,若称Xn(e)以概率1收敛于随机变量X，或称{Xn(e)}几乎处处收敛于X(e)，记作依概率收敛若对于任给
