数学建模课程设计文库

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1、东北大学秦皇岛分校数学建模课程设计报告基于线性规划理论的数学建模学院数学与统计学院专业学号姓名指导教师成绩教师评语：指导教师签字：2014年07月17日数学与统计学院课程设计报告第8页1绪论随着现代科学技术的迅猛发展，数学科学的地位也因之发生重大变化，数学应用范围的扩展已经不再局限于物理领域，而是向经济、生态、人口、环境、医学、社会等各个非物理领域深入渗透。数学，一直和人们生活的实际需要密切相关。进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域的渗透，以及电子计算机的飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视，可以从以下几方面看出其重要意义：1）在一般工程技术领域，

2、数学建模仍大有用武之地；2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具；3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。模型是实物、过程的表示，是人们认识事物的框架。他可能是对实体的仿造、模拟，也可能是某些基本属性的抽象。数学模型是对所研究的对象进行模拟，是用数学思维方法将要解决的问题进行简化、抽象处理，用数学符号、公式、图表等刻画实物本质属性及内在规律。由数学模型的基本定义，数学模型是对部分现世界的抽象结果，不同的领域、不同的问题经过数学抽象，可能会得到类似的数学结构。从这一点来看，同一模型可以应用于多个领域，解释不同的问题。建立一个数学模型，不仅需要

3、必要的数学知识，还必须了解其他领域内与之相关的内容。本文将通过具体建模实例说明建立数学模型的一般过程，建模方法与建模能力的培养。2线性规划问题及其数学模型目标函数与约束条件涉及的都是线性函数的规划问题，称为线性规划。2.1线性规划问题的数学模型在生产和经营管理工作中，需要经常进行计划或规划。虽然不同领域、不同行业计划和规划的内容千差万别，但其共同点均可归结为：在现有各项资源条件的限制下，如何确定方案，使预期目标达到最优；或为了达到预期目标，确定使资源消耗为最少的方案。由此可见，线性规划问题的数学模型由三个要素组成：1）变量，或称决策变量，是问题中要确定的未知量，它用于

4、表明规划中的用数量表示的方案、措施，可由决策者确定和控制；2）目标函数，它是决策变量的函数，按优化目标分别在这个函数前加上max或min；3）约束条件，指决策变量取值时数学与统计学院课程设计报告第8页受到的各种资源条件的限制，通常表达为含决策变量函数的等式或不等式。如果规划问题的数学模型中，决策变量的取值是连续的，即可以为整数，也可以为分数、小数或实数，目标函数是决策变量的线性函数，约束条件是含决策变量的线性等式或不等式，则该类规划问题的数学模型称为线性规划的数学模型。实际问题中线性的含义：一是严格的比例性，二是可叠加性，三是可分性，四是确定性。线性规划问题的数学模型

5、一般可表示为：（1.1）上述模型的简写形式为：（1.2）用向量形式表示为：（1.3）式（1.3）中，；；；用矩阵和向量形式来表示可写为数学与统计学院课程设计报告第8页称为约束方程组（约束条件）的系数矩阵。变量的取值一般为非负，即；从数学意义上可以有。又如变量表示第种产品本期内产量相对于前期产量的增加值，则的取值范围为，称取值不受约束，或无约束。2.2线性规划问题的标准形式由于目标函数和约束和形式上的差别，线性规划问题可以有不同的表达式，为了便于讨论和统一算法，现规定线性规划问题的标准形式如下：在标准形式的线性规划模型中，目标函数为求极大值，约束条件为全等式，约束条件右

6、端常数项全为非负值，变量的取值全为非负值。若为非标准形式的线性规划问题，则通过一系列的变换将其变为标准形式的线性规划问题，再求解。2.3线性规划问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。例美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备A、设备B的台时、调试工序时间及每天可以用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1所示。问该公司制造两种家电各多少件，使获利的利润为最大[1]。表1生产资料利润项目ⅠⅡ每天可用能力设备A/h0515设备B/h6224数学与统计学院课

7、程设计报告第8页调试工序/h115利润/元21　3模型求解针对上一章中提出的线性规划问题，下面我们就如何建立这类问题的线性规划模型给出说明，利用matlab软件求解并对输出结果作一些分析。问题分析这个优化问题的目标是是每天所获利润最大，要做的决策就是生产计划，即在现有条件下，每天制造多少台的Ⅰ、Ⅱ两种家电产品，决策受到三个条件的限制：各制造一件家电时分别占用设备A、设备B的台时、调试工序时间及每天可以用于这两种家电的能力。根据题意，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可以得到如下的数学模型。基本模型决策变量：设美佳公司每天制造台